Calcular el límite $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$

Question

Estoy tratando de calcular el siguiente límite sin la relación de Stirling. \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n} \end{equation} He probado todos los trucos que conozco pero nada funciona. Muchas gracias.

Answer 1

Al estimar todos los factores en $n!$ excepto la primera, que obtenemos: $$0 \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n-1}}{n^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$$

Answer 2

Considere la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} $$ de términos positivos. El cociente de dos términos consecutivos es $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n}= \left( \frac{n}{n+1} \right)^n=\left[ \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \right]^{-1} $$ que tiende a $e^{-1}<1$ . Se desprende de la prueba de relación que la serie converge, y por la condición necesaria para la convergencia de las series se obtiene el límite. Tenemos $$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}=0. $$

Answer 3

Una pista:

Tenemos que $n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n<n\cdot n \cdot ...\cdot n$ , $n-1$ tiempos.