La subjetividad en la secuencia exacta a partir de los axiomas de la gavilla

Question

Dejemos que $\mathcal{O}_{X}$ sea una gavilla de anillos sobre un espacio topológico $X$ y que $U\subseteq X$ sea un conjunto abierto. Es común dar los axiomas de la gavilla como exactitud de una secuencia. Para cualquier cobertura abierta $\left\{U_{i}\right\}$ de $U$ tenemos la secuencia exacta:

$0 \to \mathcal{O}_{X}(U) \to \prod_{i}\mathcal{O}_{X}(U_{i}) \to \prod_{i,j} \mathcal{O}_{X}(U_{i}\cap U_{j})$

La última proyección del mapa a cada factor envía una secuencia $(s_{i}) \mapsto s_{i}\vert_{U_{i}\cap U_{j}} - s_{j}\vert_{U_{i}\cap U_{j}}$ .

Mi pregunta: ¿Existen condiciones en las que este último mapa es una suryección? ¿Tienen este tipo de gavillas un nombre?

Gracias.

Answer 1

La subjetividad en ese punto es una restricción muy dura ya que tenemos que considerar todo posibles opciones de $\{U_i\}$ . Supongamos que $U_i=U_j=U_k$ . Entonces, para tres elementos arbitrarios $s_{i,j}, s_{i,k}, s_{j,k}$ de $\mathcal O_X(U_i\cap U_j)=\mathcal O_X(U_i\cap U_k)=\mathcal O_X(U_j\cap U_k)$ , tendría que exhibir $s_i,s_j,s_k\in \mathcal O_X(U_i)=\mathcal O_X(U_j)=\mathcal O_X(U_k)$ tal que $s_{i,j}=s_i-s_j$ , $s_{i,k}=s_i-s_k$ , $s_{j,k}=s_j-s_k$ . Por lo tanto, obtenemos la condición $s_{i,j}+s_{j,k}=s_{i,k}$ lo que en general no es cierto. La única manera de hacer que esto funcione es tener $\mathcal O_X(U)=0$ para todos $U$ .

Así que, sí, estas gavillas tienen un nombre: gavilla trivial.