Momento de inercia, por qué $r^2$ y no $r$ ?

Question

Así que mi libro de mecánica de la ingeniería incluye una breve discusión sobre área momentos de inercia .

Por desgracia, el capítulo siguiente es de naturaleza predominantemente computacional. No entiendo bien de dónde salen las ecuaciones para esto. La ecuación en cuestión se expresa como

$$I_x = \int_A y^2dA \space \mathrm{ and } \space I_y = \int_A x^2dA$$

Debido a la sencilla ecuación del par motor $\tau=Fd$ En este sentido, es fácil imaginar que el momento angular de un objeto que gira en torno a un eje es mayor cuanto más lejos está su masa del eje.

Basta con dividir cualquier objeto continuo en un conjunto de elementos diferenciales y violá, tienes una integral que se puede ajustar vagamente al momento angular.

El problema, sin embargo, es que no puedo derivar esto. De hecho, para mí tiene más sentido integrar sobre simplemente $x$ o $y$ en lugar de $x^2$ o $y^2$ .

Debido a una pesadilla logística, no tengo acceso a un libro de física para buscar esto. ¡Agradecería a quien pudiera explicarme (es decir, explicar la motivación de) esto!

Answer 1

Creo que se confunde entre momento de inercia de la masa y área momento de inercia .

El primero es un equivalente de la masa en dirección angular y se define como $\int_V{r^2\rho dV}$ . Un equivalente angular de $F=ma$ es: $$\tau=I\alpha$$ donde $\tau$ es el par (equivalente angular de la fuerza, con unidades $[Nm]$ ), $I$ es el momento de inercia de la masa (equivalente angular de la masa, con unidades $[kgm^2]$ ) y $\alpha$ es la aceleración angular (equivalente angular de la aceleración lineal, con unidades $[rad/s^2]$ ).

La segunda es una indicación de la capacidad de una viga para soportar un par de torsión (cuánto se doblará debido a él). Hay muchas ecuaciones que pueden relacionarse con esto y dependen de cómo una viga (en voladizo) está constreñida . Pero esto tiene la definición de $\int_A{rdA}$ y tiene la unidad $[m^4]$ .

Editar: Después de ver un comentario está claro que se refiere al segundo. Y voy a intentar explicarlo un poco mejor. Considera un sección de una viga sobre la que se aplica un momento flector constante :

Esta sección se comprimirá en un extremo y se estirará en el otro y en algún punto del medio (dependiendo de la forma de la sección) no habrá tensiones/deformaciones. En forma de ecuación se ve así: $$ \sigma(y)=\frac{My}{I}, $$ donde $\sigma$ es la tensión en la viga a una distancia $y$ del eje neutro de la viga, $M$ es el momento flector aplicado.

Una forma de derivar esto es que la integral de las tensiones por un área pequeña de la sección transversal por la distancia del eje neutro debería dar el momento de flexión: $$ M=\int_A{\sigma(y)ydA} $$ Al sustituir la ecuación de $\sigma$ en esta integral y dividir ambos lados por $\frac{M}{I}$ lo consigues: $$ I=\int_A{y^2dA} $$

No estoy seguro de que esto lo aclare, ya que podría parecer un razonamiento circular, ya que asumo una determinada ecuación para $\sigma$ . Pero espero que puedas ver que las tensiones serán proporcionales al momento flector cuando se supongan deformaciones pequeñas y elásticas ( $\sigma\propto M$ ). Y que las tensiones también dependerán linealmente de la distancia al eje neutro, ya que $\sigma dA=dF$ y $Fr=M$ Así que $\sigma rdA=dM$ .

Answer 2

Esta es una motivación para que el tensor de inercia $I=(I_{ij})$ (y por extensión los momentos de inercia) viene. Es una cantidad análoga a la masa para el movimiento de rotación en el sentido de que la energía cinética de un objeto en rotación es esencialmente proporcional al tensor de inercia por el cuadrado de la velocidad angular del cuerpo. Más concretamente \begin{align} T(t) = \frac{1}{2} \boldsymbol \omega(t)^tI(t)\boldsymbol \omega(t). \tag{1} \end{align} donde $\boldsymbol \omega(t)$ es la velocidad angular instantánea del cuerpo. Compárese, por ejemplo, con la expresión de la energía cinética de una partícula de masa $m$ moviéndose con velocidad $v$ ; \begin{align} T = \frac{1}{2}mv^2. \end{align}

Para demostrar la expresión $(1)$ , se parte de un cuerpo rígido formado por puntos $\mathbf x_i$ que se somete a una rotación pura. Existe una rotación dependiente del tiempo $R(t)$ que genera el movimiento de todos los puntos del cuerpo rígido; \begin{align} \mathbf x_i(t) = R(t)\mathbf x_i(0) \tag{2} \end{align} La energía cinética del cuerpo es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales; \begin{align} T(t) &= \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{\mathbf x}_i(t)\cdot\dot{\mathbf x}_i(t) \\ &= \frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big)\cdot\big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big) \\ &=\frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big)\cdot\big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big) \\ \end{align} donde en la última igualdad utilicé el hecho de que $R^tR = I$ para las rotaciones de manera que la ec. $(2)$ da $\mathbf x_i(0) = R(t)^t \mathbf x_i(t)$ . Ahora, observamos que \begin{align} \dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t) = \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf x_i(t) \end{align} donde $\boldsymbol\omega$ es el vector de velocidad angular del cuerpo. Véase a continuación una derivación detallada de este hecho:

Velocidad angular expresada mediante ángulos de Euler

Así que juntando todo esto, tenemos \begin{align} T(t) &= \frac{1}{2}\sum_im_i\big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big)\cdot \big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big) \\ &= \frac{1}{2}\sum_im_i \sum_{j,k}\omega_j\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\omega_k \\ &= \frac{1}{2} \sum_{j,k}\omega_j\left[\sum_im_i\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\right]\omega_k \\ \end{align} Ahora, si simplemente observamos que el tensor de inercia se define como la cantidad cuyos componentes $I_{jk}$ están en los paréntesis grandes, entonces tenemos la fórmula deseada.

Tenga en cuenta, en particular, que cuando $j=k$ es decir, cuando consideramos sólo las componentes diagonales del tensor de inercia, entonces obtenemos la $j$ momento de inercia \begin{align} I_{jj} = \sum_i m_i\big(\mathbf x_i^2 - (x_i)_j^2\big) \end{align} por lo que, por ejemplo, el $x$ momento es \begin{align} I_{xx} = \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) \end{align} y si el objeto está en el $x$ - $y$ plano, entonces $z=0$ y obtenemos \begin{align} I_{xx} = \sum_i m_i y_i^2 \end{align} y si el cuerpo es continuo, las sumas se sustituyen por las integrales adecuadas; \begin{align} m_i\to dm, \qquad I_{xx}\to \int y^2 dm \end{align}

Answer 3

El momento de inercia se relaciona con la resistencia a la aceleración rotacional, que implica movimiento. Con respecto a una influencia rotacional que se retuerce en el eje, el radio afecta a la cantidad de esta resistencia de dos maneras distintas (aunque entrelazadas). En primer lugar, si el radio se duplica, la ventaja mecánica del brazo de palanca (radio) se reduce en un factor de dos, requerirá el doble de par en el eje para producir la misma fuerza en el extremo del brazo de palanca. En segundo lugar, al duplicar el radio se duplica la longitud del barrido del arco cuando se produce el movimiento. Para cualquier giro arbitrario en el eje, al duplicar el radio se duplicará la distancia a lo largo del arco barrido por el extremo del brazo de palanca (radio), necesitando que la punta del brazo de palanca se desplace al doble de velocidad.

Así que un radio mayor participa en la resistencia a la aceleración rotacional de dos maneras, explicando la aparición del $r^2$ en lugar de simplemente $r$ .

Dicho de otro modo, cuando se duplica el radio, para cualquier giro aplicado en el eje, se intenta acelerar la masa el doble de rápido con sólo la mitad de palanca.

Answer 4

El momento angular de una sola partícula con masa $m$ en movimiento alrededor de un eje, con velocidad angular $\omega$ , una distancia $r$ del eje, es $L = r (m v) = m r^2 \omega$ .

Cuando consideramos un cuerpo extendido, la suma de la contribución ( $m r^2$ ) de cada partícula en movimiento dentro del cuerpo, y éste es el momento de inercia.

De manera más general, $$\begin{align} \mathbf{L} &= \sum_p m_p \mathbf{r}_p \times \mathbf{v}_p\\ & = \sum_p m_p \mathbf{r}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i)\\ & = \sum_p m_p \left( \boldsymbol{\omega} \, (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p) - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\ & = \sum_p m_p \left( (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p)\boldsymbol{\omega} - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\ L_j &= \sum_p m_p \sum_k \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right) \omega_k \\ &= \sum_k I_{jk} \omega_k \\ \end{align}$$

El término $\sum_p m_p \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right) $ es el tensor de momento de inercia $I_{jk}$

Tenga en cuenta que $I_{xx} = \sum_p m_p (r^2 - x^2) = \sum_p m_p (y^2 + z^2)$ . En 2 dimensiones, simplemente se ignora el $z^2$ parte, por lo que esto dice que $I_{xx} = \sum_p m_p y^2$ . Para un cuerpo continuo de densidad uniforme, obtendríamos $I_{xx} = \rho \int\!dA\, y^2$ .

Supongamos ahora que este cuerpo gira en torno al eje z (aunque en su caso sea bidimensional, y $z=0$ En este caso, ponemos un eje z para dar algo sobre lo que girar; realmente estamos girando en el plano x-y). Entonces el vector velocidad angular es $\boldsymbol{\omega} = \omega \,\hat{\mathbf{z}}$ . Escribiríamos

$$ \begin{align} L_z &= L_3\\ & = \sum_k I_{3k} \omega_k\\ & = I_{33} \omega\\ & = \rho \int\!dA\, (x^2 + y^2) \omega\\ \end{align} $$

Answer 5

Las otras respuestas aquí son geniales, pero si no te sirven, aquí hay otra cosa que podrías considerar...

En una dimensión, encontramos el centro de masa con una media sobre las masas $$ \bar x=\frac {\sum m_i x_i}{\sum m_i} $$ Encontramos el giro-radio (una dimensión todavía) con la raíz cuadrada media sobre las masas $$ x_{gyro}=\sqrt{\frac {\sum m_i x_i^2}{\sum m_i}} $$ La media cuadrática nos indica la dispersión de algo. Y cuanto más extendida esté la masa, más difícil será "acelerar", hacerla girar y, una vez que esté girando, más difícil será detenerla. El radio del giroscopio nos da la distancia desde el centro a la que podría trasladarse toda la masa y tener la misma inercia de rotación.

Por lo tanto, necesitamos el cuadrado en la integral, ya que esto nos da la dispersión de la masa en lugar de la primera potencia que nos da el centro de masa.