Yo don ' sabe si la secuencia converge

Question

Tenemos $a_0 = x_2\in [0,A]$ y $a_{n+1} = (A−a_n)/2$. Demostrar que esta secuencia converge a $A/3$. Y luego probar lo mismo para el % de secuencias $a_{2k}$y $a_{2k+1}$.

Answer 1

Sugerencia: escriba $a_n = A/3 + b_n$. Entonces $$a_{n+1} = (A - a_n) / 2 = A / 3 - b_n / 2 = A/3 + b_{n+1}.$ $

Prueba alternativa: la función $x \mapsto (A - x) / 2$ es una contracción y por el teorema del punto fijo de Banach tiene un único punto fijo $ x = (A - x) / 2$% y tan $x = A/3$.