Minimizar el máximo de algunas funciones

Question

Tengo algunos dos funciones variable definidos como $f(x, y)_i = \frac{\sqrt{(x_i - x)^2 + (y_i - y)^2}}{S_i}$

Deje de tener esa funciones $n$... $f(x, y)_1, f(x, y)_2$ $f(x, y)_n$. Tengo que minimizar al máximo estas funciones seleccionando valores adecuados de $x$ y $y$. ¿Cómo hacerlo?

Answer 1

El caso de %#% de #% ser iguales está cubierto por la tapa del círculo más pequeño. Para el caso aspecto en la parte inferior de este artículo.

Answer 2

En primer lugar vamos a recopilar la información que podemos extraer de el problema.

1. $f(\cdot,\cdot)_i\geq 0$ $S_i>0, \forall i$
2. $f(\cdot,\cdot)_i$ es continuamente diferenciable $\forall i$
3. $\min(\max (f_1,...f_n))>0$

Como 1. y 2. está claro, me explico 3. Asumir tendríamos $\min(\max(f_1,..,f_n))=0$. Esto implicaría que tenemos $f_1=...=f_n=0$ a que ciertos mínimos. Esto sólo sería posible, si el par $(x_i,y_i)$ es el mismo $\forall i$, lo que haría que el problema trivial. También podemos suponer que los pares de $(x_i,y_i)$ diferentes $\forall i$, porque de lo contrario podríamos ignorar todas las funciones con la misma pares, excepto el uno con el menor valor de $S_i$. El hecho de que no podemos tener cero como mínimos implica, que nuestro mínimos no se produce en la posición de los mínimos de cualquier $f_i$ ya que todos tienen cero como mínimos.

A partir de ahí se puede derivar que nuestro mínimos occours

• en el mínimo de la intersección de la línea de dos funciones
• o en el punto de intersección de tres (o más) funciones

Así que usted tiene que calcular la intersección de las líneas / puntos y comprobar si todas las demás funciones que tienen valores más bajos en que puntos. Desde todos los puntos de intersección y mínimos de las líneas de intersección donde su valor es mayor que el valor de todas las demás funciones que en ese momento usted, a continuación, tomar el valor mínimo.