Recordemos la definición de compacto de operadores entre espacios de Hilbert:
Un operador $A$ se llama compacto si la imagen $A(\mathcal U_H)$ de la unidad de la bola es relativamente compacto (es decir, su cierre es compacto) en la norma de la topología.
Sin embargo, me parece que para ser capaz de "probar" que la imagen es, de hecho, compacto, no sólo relativamente compacto. ¿Qué salió mal?
$\square$: Nos muestran que $A(\mathcal U_H)$ es secuencialmente compacto. Dado que la topología es dada por una norma / métrica, esto implica que también es compacto.
Deje $y_n = Ax_n$ ser una secuencia en $A(\mathcal U_H)$. La unidad de la bola en un espacio de Hilbert es débilmente compacto, por lo que no es débilmente convergente subsequence $x_{n_j} \to^w x$ da $Ax_{n_j} \to^w Ax$.
Por otro lado, por la compacidad secuencial de la clausura de la $A(\mathcal U_H)$, sabemos que una larga de $z_k = x_{n_{j_k}}$ tiene la propiedad de $Az_k \to y$ algunos $y$ en el espacio de Hilbert, a pesar de que aún no conocen ese $y$ es también en la imagen de la unidad de la bola.
Pero tenemos $z_k \to^w x$ como bueno, y por lo tanto,$A z_k \to^w A x$. Desde la débil límite debe coincidir con el límite de la norma, tenemos $y = Ax$, e $y \in A(\mathcal U_H)$ ya. En otras palabras, la secuencia original $y_n$ tiene una larga que converge en la imagen de la unidad de la bola. $\square$
Me siento muy estúpido para no encontrar mi error, que sin duda debe ser muy elemental. ¿Qué salió mal? Un contraejemplo probablemente ayude a mi entendimiento.
