¿Por qué existen límites estelares?

Question

Lo teoremas o puntos de vista están disponibles para decidir si una estrella con algunas dada la interdependencia entre su densidad, presión y temperatura de las distribuciones debe tener un límite a partir de un número finito de distancia de su centro? Sé que en muy ideal situaciones, tenemos plena claridad. Pero, por supuesto, debemos hacer algo mejor que eso, ¿no?

Como una motivación para esta pregunta (este paso si no te importa) me dejó leer Hawking Y Ellis (1973) slick intento de prueba de la parte superior del límite de masa para $n=3$-polytrope (esféricamente simétrica, estático) enanas blancas, p.304:

*La forma de equilibrio hidrostático ecuación de lee \begin{equation} \frac{dp}{dr}(r)=-\rho(r) GM(r) r^{-2}. \end{equation} donde $M(r)$ es la masa witin un shell de radio $r$ alrededor del origen.

*Multiplicar ambos lados por $r^4$ e integrar más de $r$. Hacer integración por partes en la LHS: \begin{equation} p(R)R^4 - 4 \int_0^R p(r)r^3 \text{d}r = - \frac{GM(R)^2}{8\pi} \end{equation} Si $R$ es el estelar de la frontera, el primer término se desvanece. Si estoy en lo cierto, el argumento también puede proceder si podemos encontrar una secuencia de radios $R_n \to \infty$ tal que $P(R_n)R_n^4 \to 0$. Para el resto del argumento que requieren que el primer término es despreciable

*En el otro lado \begin{equation} \frac{d}{dr}\left(\int_0^r pr'^3\text{d}r\right)^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}\left(\int_0^r pr'^3\right)^{-\frac{1}{4}}pr^3 = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}pr^4-\frac{1}{4}\int_0^r \frac{dp}{dr}r'^4\text{d}r'\right)^{-\frac{1}{4}}pr^3 < \frac{3\sqrt{2}}{4}p^{\frac{3}{4}}r^2 \end{equation} donde en la última línea se utilizó la negatividad de $\frac{dp}{dr}$ (sigue inmediatamente a partir de la ecuación de equilibrio).

*Ya $p\leq C\rho^{\frac{4}{3}}$, luego tenemos \begin{equation} \int_0^R pr^3\text{d}r \leq C \left(\int_0^R\rho r^2\text{d}r\right)^{\frac{4}{3}}=C\left(\frac{M(R)}{4\pi}\right)^{\frac{4}{3}} \end{equation}

*Junto con la primera línea podemos deducir que \begin{equation} M(R) < \frac{(8C)^{\frac{3}{2}}}{(4\pi)^{\frac{1}{2}}}. \end{equation}

Ya he comprobado las habituales referencias (Chandrasekhar (1939), Horedt), pero realmente no encontré nada que me necesita o desea. De nuevo, estas referencias parecen discutir sólo muy ideal situaciones.

EDIT: Muchos de los comentarios y respuestas a continuación invocar demasiado a los muchos detalles de los alrededores de la física (radiación/efectos químicos) del problema y por lo tanto carecen de generalidad (Imaginar gaseoso cuerpos con radiación insignificantes: por ejemplo, una enana blanca en un universo de unos pocos millones de años a partir de ahora. Tal vez no debería haber dicho "estelar" límite en el título./ tal vez algunas configuraciones de gas se descartó por la Naturaleza en los procesos de formación en su lugar de equilibrio restricciones). Mi pregunta realmente puede ser interpretado de una forma más bien definido de manera que eso: algo así como "supongamos $p(r)$ $\rho(r)$ resolver la ecuación hidrostática largo de la estrella y supongamos $f(\rho(r)) < p(r) < g(\rho(r))$ (donde $f$ $g$ son algunas de las funciones específicas), a continuación, $\lim_{r\to R-} \rho(r)=\lim_{r\to R-} p(r)=0$ algunos $R>0$?"

2nd EDIT: me acabo de dar cuenta de que el argumento de la masa límite superior fácilmente omite el `quick-disminución de presión" requisito. El punto es que desde \begin{equation} p(R)R^4 - 4 \int_0^R p(r)r^3 \text{d}r = - \frac{GM(R)^2}{8\pi} \end{equation} (la primera línea) tenemos que \begin{equation} 4 \int_0^R p(r)r^3 \text{d}r \geq \frac{GM(R)^2}{8\pi} \end{equation} que es una desigualdad en la dirección correcta. Junto con el resto de los cálculos, por lo tanto, tenemos que para cualquier$R>0$ \begin{equation} M(R) < \frac{(8C)^{\frac{3}{2}}}{(4\pi)^{\frac{1}{2}}}. \end{equation} lo que implica que incluso si la estrella no tiene límites, a continuación, $M=\lim_{R \to \infty} M(R)$ existe y es menor que o igual a $\frac{(8C)^{\frac{3}{2}}}{(4\pi)^{\frac{1}{2}}}$.

Answer 1

¿Por qué estelar de los límites de existir?

Las estrellas no tienen un duro límite de la superficie en el sentido de que su pregunta parece sugerir que usted está pensando. El sol parece una buena, discreta esfera debido a los efectos ópticos. Lo que llamamos la superficie del sol es de la fotosfera.

Llamamos a esto la superficie, porque es lo que efectivamente ver cuando nos fijamos en el sol. Sin embargo, esta superficie es justo el punto donde la profundidad óptica de los enfoques de la unidad. Es decir, que es la región donde el gas ionizado se vuelve opaco a la luz visible de los fotones.

Técnicamente, la atmósfera del sol se puede decir para abarcar lo que se conoce como la heliosfera, por lo que, en la Tierra, son técnicamente dentro de la atmósfera del sol. Por lo tanto, el límite superior es más como el choque de terminación de la fotosfera, pero esto depende de la pregunta que usted desea dirección (más sobre esto más adelante).

Más estrellas masivas tienen una aún más ambiguo de la superficie debido a varios efectos. Por ejemplo, Wolf-Rayet y O-Tipo de estrellas a menudo tienen muy extendido coronas , dificultando la identificación de una superficie.

Lo teoremas o puntos de vista están disponibles para decidir si una estrella con algunas dada la interdependencia entre su densidad, presión y temperatura de las distribuciones debe tener un límite a partir de un número finito de distancia de su centro?

Le voy a leer a tu pregunta, ya que como varios de los comentarios ya han dicho, una estrella no puede ser infinito.

Piensa que la atmósfera de un planeta como la Tierra o Venus. Nosotros, en general describir estas usando un modelo porque, en realidad, ellos no son homogéneas ni siempre continua (es decir, estoy pensando sharp gradientes de densidad que, en ocasiones, pueden surgir). El modelo es a menudo de la densidad de la masa y sigue una exponencial con el siguiente formulario: $$ \rho\left( h \right) = \rho_{o} e^{-h/h_{o}} \etiqueta{1} $$ donde $\rho\left( h \right)$ es la densidad de la masa en la altura $h$, $\rho_{o}$ es algún punto de referencia conocido o densidad de masa (por ejemplo, el promedio de densidad de la masa a nivel del mar puede ser una buena opción), y $h_{o}$ es la altura de escala o e-plegamiento de la distancia (es decir, es una cantidad similar a la mitad de la vida de los materiales radiactivos). El $h_{o}$ parámetro está relacionado a menudo con la suave límite superior de la atmósfera. Se puede determinar con bastante facilidad, pero su significado es el factor importante aquí. Usted puede ver que no hay duros límite en cualquier lugar dentro de la Ecuación 1 (es decir, la magnitud $\rho\left( h \right)$ asintóticamente se aproxima a cero, pero nunca la alcanza), pero ese modelo hace un muy buen trabajo de describir a la mayoría de las atmósferas planetarias.

Respuesta

Para responder a su pregunta, el límite superior es a menudo determinado a partir de un modelo (como los que se presentan en su pregunta o la Ecuación 1 en mi respuesta) y la interpretación física es que a altitudes por encima de $h_{o}$, la densidad (o cualquier otro parámetro es relevante) es mucho menor que lo que está debajo que nos puede aproximar como ser pequeño, insignificante, o cero, dependiendo del nivel de precisión necesario para el problema dado.

Esto no es satisfactorio, lo sé, pero la física es acerca de encontrar formas de aproximarse a la naturaleza sin dejar de lado a los correspondientes efectos. Así que el límite superior está determinado por el problema de la esperanza de la dirección y de su elección de modelo, ya que en realidad no es difícil límite superior para una gaseosa cuerpo como una estrella (Nota: estoy ignorando núcleos estelares y exóticos casos como el de las estrellas de neutrones.).

Ejemplo

En el caso de que el sol, tenga en cuenta que la densidad es también descrito por un modelo exponencial, pero un poco más complejo debido a la ionización de las partículas. Independientemente, en los bajos de la cromosfera, el total de hidrógeno número de densidad puede estar en el orden de $n_{H} \sim 10^{14} \ cm^{-3}$ o $\sim 10^{20} \ m^{-3}$, que ya es de cuatro órdenes de magnitud más débil que la de la fotosfera. Por encima de aproximadamente un solar radios, $R_{\odot}$, la densidad del número de caídas aún más hacia $\sim 10^{4} \ cm^{-3}$($\sim 10^{10} \ m^{-3}$) en sólo una altitud de $\sim 5 \ R_{\odot}$, o alrededor de diez órdenes de magnitud.

Por lo tanto, como se puede ver la cantidad de materia por unidad de volumen empieza a ser despreciablemente pequeña encima de la escala de la altura, pero no vaya a cero. No podemos modelo todo a la perfección, así que el truco es aproximado donde el ambiente ya no importa, dentro de los límites de la pregunta que usted está tratando de dirección.

Nota al margen: En la altitud de 1 AU (es decir, aproximadamente la ubicación de la órbita de la Tierra), el número de la densidad de la atmósfera del sol se ha reducido a $\sim 1-10 \ cm^{-3}$($\sim 10^{6}-10^{7} \ m^{-3}$).

Answer 2

Permítanme darles un ejemplo que se me acaba de computada:

Preliminares:

1) a Través de Poisson ecuación de la hidrostática ecuación puede escribirse como \begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dp}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}

2) podemos simplificar esto mediante la introducción de una entalpía $h$ mediante la integración de \begin{equation} \frac{dh}{dr}=\rho \frac{dp}{dr} \end{equation} lo que implica que $h$, como $p$, es nonincreasing en $r$. $h$ se define a un término constante que hemos establecido por el requisito de que $h(R) = 0$ (que no es siempre posible, pero bueno en el caso que voy a tener en cuenta. BTW, $R=\infty$ es posible). La ecuación hidrostática ahora lee \begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dh}{dr}\right)=-4\pi G \rho \end{equation}

3) Para facilitar las cosas, hemos de introducir cantidades adimensionales \begin{equation} \begin{cases} & r(x)=Rx \\ & \rho(r(x))=\rho(0) u(x) \\ & h(r(x))=h(0) v(x) \end{casos} \end{equation} de modo que $u(0)=v(1)=1$ y en donde hemos elegido la escala de la $R$, de modo que la ecuación de equilibrio lee muy bien \begin{equation} \frac{1}{x^2}(x^2v'(x))' = - u(x) \end{equation} (los números primos denotan diferenciación con respecto a los $x$).

Teorema de Supongamos que $u$ $v$ son una solución de la ecuación diferencial con la declaró condiciones de contorno y $\forall x > 0$ tenemos que $v(x)^2=:f(v(x))\leq u(x)\leq g(v(x)):=1-\epsilon + \epsilon v(x)$ ($\epsilon>0$ arbitrariamente pequeño), a continuación, $v$ tiene una raíz para algunos finito $x^*$. (Nota: para una estrella hecha de degenerada de frío materia, tendríamos $u=v^{\frac{3}{2}}$, por lo que este caso se tratan en la actualidad)

prueba: La prueba de lo recaudado por el supuesto de que $v>0$ en todo el eje real positivo (de modo que $v$ también satisface la ecuación hidrostática en que toda la gama) y derivar una contradicción. Dejo al lector para comprobar que $\lim_{x\to 0+} u(x)=1=\lim_{x\to 0+} v(0)$ implica que el $\lim_{x\to 0+} v'(x)=0$. En el intervalo de $I:=(0,x^*)$ donde $u$ es positivo, tenemos por seguro que $\forall x \in I$ \begin{equation} x^2v'(x)=-\int_0^x s^2u(s)\text{d}s < 0 \end{equation} por lo $v$ es sin duda la disminución en el mismo intervalo de tiempo. También tenga en cuenta que \begin{equation} -1=\lim_{x \to 0+}-u(x)=\lim_{x \to 0+} \left(v''(x)+2\frac{v'(x)}{x}\right)=3\lim_{x \to 0+}v''(x) \end{equation} Así que sin duda puede encontrar una $\delta>0$ tal que $v(x)\leq 1-\frac{1}{12}x^2$ mientras $x < \delta$. Junto con el hecho de que $v$ está disminuyendo, esto implica $v < v_1:=1-e$ donde \begin{equation} e(x)=\begin{cases} &\frac{1}{12}x^2 \text{ when } x < \delta \\ &\frac{1}{12}\delta \text{ otherwise }\end{casos}. \end{equation} Esto implica que $u \leq g(v) < g(v_1)=1-\epsilon e$. Para la integración de \begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u > 1 - \epsilon e \end{equation} da \begin{equation} v(x)>max(0,1-\frac{x^2}{2}+d(x))\geq \begin{cases}& 1-\frac{x^2}{2}+d(x) \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 0 \text{ otherwise.}\end{casos}=:v_2(x) \end{equation} donde he definido la positiva continua de la función $d(x):=\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s \text{d}t(t^2 e(t))$ cuyos detalles no son importantes. Ahora tenemos que \begin{equation} x^{-2}(x^2v')'=-u \leq -f(v) \leq -f(v_2)=-v_2^2. \end{equation} De nuevo integrando, obtenemos que \begin{equation} v(x) \leq \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t \text{ otherwise } \end{casos} < \begin{cases} & 1-\int_0^x \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t \text{ when } x < \sqrt{6} \\ & 1-\underbrace{\int_0^\sqrt{6} \frac{\text{d}s}{s^2}\int_0^s (t^2(1-\frac{t^2}{6})^2)\text{d}t}_{=:a}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})\underbrace{\int_0^{\sqrt{6}} (t^2(1-\frac{t^2}{6}+d(t))^2)\text{d}t}_{=:b} \text{ otherwise } \end{casos} \end{equation} donde se puede calcular que $a=\frac{19}{35}$ $b>\frac{16}{35}\sqrt{6}$ con la desigualdad debido a la mayor contribución positiva de la función positiva $d$. Para la segunda mitad de la cota superior de lee \begin{equation} v(x)<\frac{16}{35}+(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{6}})b=\frac{16}{35}+(\frac{\sqrt{6}}{x}-1)(\frac{16}{35}+\kappa) \end{equation} (al $x > \sqrt{6}$) donde $\kappa>0$ es un pequeño y constante. Este límite superior tiene un cero en el finito $\tilde{x}$. Por lo tanto $v$ tiene un cero en un número finito de $x'\leq\tilde{x}$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto $v$ tiene un cero en un número finito de $x^*$ (Esta lógica suena extraño, pero es la correcta)

Tengo igualmente utilizar los trucos que me este teorema para determinar, numéricamente, que también tomando $f(v)=0.95 v^3$ (recordemos que $u=v^3$ es el polytrope de los degenerados de la materia) y $g(v)=v^{2.5}$ implica también un número finito de radio. Combinaciones como $(g,f)=(v^{1.5},v^3)$ $(g,f)=(v^2,v^3)$ no parecen producir algún tipo de conclusión (el uso de este método numéricamente).