¿De cuántas maneras dividir $n$ bolas en $3$ cubos con limitaciones?

Question

Problema

De cuántas maneras dividiendo $n$ bolas en $3$ baldes con las siguientes limitaciones(?):

• 1 de cubo contiene impar el número de bolas.
• 2º cubo contiene una multiplicación de 4 número de bolas.
• 3er cubo contiene 0 o 2 bolas exactamente.

Estoy tratando de resolver este problema mediante la Generación de Funciones.

Solución

Permite encontrar las funciones de generación con la anterior limitaions: $$(x+x^3+...)(1+x^4+x^8+...)(1+x^2) = x(1+x^2 +...)(1+x^4 + ...)(1+x^2)$$ $$= x (1+x^2) \frac{1}{1-x^2} \frac{1}{1-x^4}$$

Ahora es el momento me quedo atascado. ¿Qué debo hacer a continuación? Debo encontrar el coeficiente de $x^n$? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Eliminar el factor común $(1+x^2)$ del numerador y denominador, tienes $$ x\left (1-x ^ 2\right) ^ {-2} = x \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{(k+1) x ^ {2 k}} = \sum_{k=0}^{\infty} {(k+1) x ^ {2 k + 1}} = \sum_{\text{odd} k} \frac {k+1} {2} x ^ k. $$ Así, mirando el coeficiente de $x^n$, $\frac{n+1}{2}$ formas de dividir legalmente las bolas si $n$ es impar e incluso ninguno si es $n$.

Answer 2

Si usted desea excluir 0 como un múltiplo de 4 (que sólo da el factor de $x^4$) que usted puede terminar su cálculo mediante el uso de $1-x^4=(1-x^2)(1+x^2)$ y luego buscar los coeficientes de $\frac 1 {(1-x^2)^2}$ mediante el uso de

$$(1-x)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n.$$