¿Por qué es$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ no diagonalizable

Question

Tengo un número de condiciones suficientes en cuanto a cuando una matriz$A$ es diagonalizable, a saber:

1. Cuando$A$ es simétrica
2. Cuando$A$ tiene valores propios distintos

Dada$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A$ Tiene valores propios no independiente$\lambda = 0$ con multiplicidad algebraica$2$, ¿hay algunas condiciones que dice que esto es cuando la matriz no puede ser diagonalizable?

Answer 1

Asuma que se diagonalisable siendo el valor propio$0$ con multiplicidad$2$. Esto significa que existe una matriz$P$ invertible tal que

ps

Una contradicción

Answer 2

Se puede comprobar que$A^2 = 0$. Si$A$ eran diagonalizable, lo que sería entonces las opciones para los valores de la diagonal?

Answer 3

Una condición general se puede describir de la siguiente manera: Por cada valor propio$\lambda$ suponemos que son capaces de calcular$$ Z_1(\lambda) = \ker (A - \lambda) \ \ \ \mbox{and} \ \ \ Z_2(\lambda)=\ker(A-\lambda)^2$ $ La matriz es si y sólo si diagonalizable para cada valor propio$Z_1(\lambda)=Z_2(\lambda)$ o equivalentemente$\dim Z_1(\lambda)=\dim Z_2(\lambda)$. En el ejemplo dado,$\lambda=0$ y tenemos$Z_1(A) = {\rm Span} \{e_1\}$ #% pero% #%

Answer 4

Deje $A$ ser diagonalizable $n\times n$, lo $A=SDS^{-1}$ para algunos matriz diagonal $D$. Esto puede ser reescrita como $AS=SD$ o, si tenemos en cuenta $S=[v_1\;v_2\;\dots\;v_n]$ (donde $v_i$ representa una columna) y $D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n)$ (espero que la notación es claro), $$ Av_i=d_iv_i $$ Desde $S$ es invertible, sus columnas forman un conjunto linealmente independiente. Por otra parte, vemos que cada columna es un vector propio de a $A$. Si un autovalor $\lambda$ aparece $k$ veces en la diagonal de $D$, podemos ver que hay, al menos, $k$ linealmente independiente de vectores propios relativa a $\lambda$. Por otro lado, el polinomio característico de a $D$ es el mismo que el polinomio característico de a $A$, por lo que cada autovalor debe aparecer en $D$ exactamente tantas veces como su multiplicidad algebraica.

El espacio propio de $A$ en relación al $\lambda$ es el subespacio formado por los vectores $v$ tal que $Av=\lambda v$. Así hemos demostrado que la dimensión del subespacio propio (generalmente llamado el geométrica de la multiplicidad del autovalor) es al menos igual a la multiplicidad algebraica.

Ya que la suma de las multiplicidades algebraica de todos los autovalores es el tamaño de la $n$ de la matriz $A$, vemos que la multiplicidad geométrica de cada autovalor debe ser igual a la multiplicidad algebraica.

Por lo tanto esta es una condición necesaria para que una matriz sea diagonalizable. Es también suficiente, porque si se mantiene podemos hacer una base de $\mathbb{R}^n$ consta de los vectores propios y que se puede utilizar para diagonalizing $A$.

En el caso de su matriz, la geométrica de la multiplicidad del autovalor $0$$1$, mientras que la multiplicidad algebraica es $2$.