Muestran que

Question

Si$(V,\langle , \rangle)$ es un espacio vector,$U \subseteq V$ es un subespacio de V y$U^\perp := \{v \in V | \langle v,u \rangle = 0, \forall u \in U\}$. Mostrar $V = U^\perp \bigoplus U$

En la primera parte he demostrado que$U^\perp$ es un subespacio lineal de V ya.

Necesito probar que$V = U^\perp + U$ #% y% #%.

Para$U^\perp \cap U = \{0\}$ Tengo:$U^\perp \cap U = \{0\}$ #% desde% #% son subespacios de V. Además, si$0 \in U^\perp \cap U$, pero por la definición del producto interno se deduce que$U,U^\perp$.

Pero ¿cómo puedo demostrar que$u \in U^\perp \cap U \Rightarrow \langle u,u \rangle = 0$?

Answer 1

Sugerencia: Considere$(u_1, \ldots, u_k)$ una base ortogonal de$U$, y considerar la función$$P:V \to V:v \mapsto \sum_{i=1}^k \frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|_2^2}u_i$ $ Entonces usted debe demostrar que$P(v) \in U$ y$v-P(v) \in U^{\perp}$ por cada$v \in V$. Por lo que será capaz de escribir$v = P(v)+(v-P(v))$. Tenga en cuenta que$P$ es una proyección.

Answer 2

Los pasos esenciales deben ser los siguientes:

Puede tomar la proyección ortogonal$P:V \rightarrow U$, que se proyecta cada punto$v\in V$ en el punto más cercano en$u\in U$. (Esto se puede hacer ya sea por esta definición o más fácil si se toma una base de$U$ y simplemente proyectar cada punto$v$ sobre esta base)

Si usted tiene que, a continuación, se puede demostrar que$P$ es lineal,$Pv \in U$,$v-Pv\in U^\bot$ y obviamente$v=Pv + (v-Pv)$, que es todo lo que necesita.