Puede una matriz A con la propiedad$A=A^{-1}$ sólo tienen los valores propios -1 y 1?

Question

Si una matriz A tiene la propiedad$A=A^{-1}$, son los únicos valores propios posibles 1 y -1?

¿Cómo se pueden caracterizar las matrices con valores enteros y la propiedad$A=A^{-1}$?

Descubrí que también si A tiene la propiedad$A=A^{-1}$, entonces$-A$,$A^T$ #% y% #% para cualquier invertible B tienen la propiedad.

También creo que el teorema de Caley-Hamilton es útil para mi problema.

Answer 1

Los valores propios de$A$ #% y% #% son recíprocos. Desde$A^{-1}$ tenemos que para cualquier valor propio$A=A^{-1}$, que sólo funciona para$\lambda = 1/\lambda$ #% y% #%.

Answer 2

Sin hacer uso explícito de polinomios característicos o la relación entre los valores propios de$A$ #% y% #% podemos obtener el resultado justo mediante el uso de la definición de valor propio.

Supongamos$A^{-1}$ es un vector propio para$v$ con el correspondiente valor propio$A$. Entonces

ps

De ello se desprende que$\lambda$ #%% por lo que #%.

Answer 3

Establecer$p(t) = t^2 -1$. Desde$A=A^{-1}$ que posee$A^2=I$, lo que implica$p(A)=0$. Los valores propios de$A$ son raíces de$p$, por lo que su conclusión es válida.