Definir el$p$ - adic logaritmo$$\log_p(1 + x) = \sum_{i = 1}^\infty (-1)^{i-1}x^i/i.$$I know that $ \ log_p$ is a homomorphism from $ #% U_1% #% \ mathbb {Q} _p$ to the additive group of $ #% U_1% #% \ mathbb {Q} _p$, where $ 1 x$ is the subset of elements of $ | x | _P <1$ of the form $ p> 2 $?
Respuesta
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Este es un interesante problema cuando se mira desde un punto de vista avanzado. Pero aquí es la manera de hacerlo cuando se considera que el registro se define por elementos de la $z$$\Bbb Q_p$$|z|_p<1$. Ya que se limitan a elementos de $\Bbb Q_p$, esto significa que $z=p\zeta$ donde$\zeta\in\Bbb Z_p$, $p$- ádico enteros.
Manteniendo esto en mente, voy a sustituir $x=pt$ en su serie de la expresión, para dar $$ \log(1+pt)=\sum_{i=1}^\infty(-1)^{i-1}p^^i/i = p\sum_{i=1}^\infty(-p)^{i-1}t^i/i=p\biggl[t-\frac{pt^2}2+\frac{p^2t^3}3-\cdots\biggr]\,, $$ en el que se ve que los poderes de la $p$ arriba más que compensar el posible divisibilidad por $p$ de la $i$ abajo. En otras palabras, $\log(1+pt)=pg(t)$ donde $g(t)\in\Bbb Z_p[[t]]$ con la forma $g(t)=t+$(superior). Pero ninguna de esas series, como $g$ en este formulario tiene un inverso $h(t)\in\Bbb Z[[t]]$ en el sentido de que $g(h(t))=h(g(t))=t$. Esto es suficiente para hacer de $g$ inyectiva.
Pero como yo soy el que soy, tengo que decirte que la restricción a las entradas de $\Bbb Q_p$ pierde el interesante comportamiento del logaritmo. De hecho tiene sentido enchufe para la variable original $x$ cualquier elemento $z$ de una extensión algebraica de $\Bbb Q_p$$|z|_p<1$, y ahora el logaritmo de la serie se desvanece cuando $z+1$ $p$- el poder de la raíz de la unidad: el registro es muy enfáticamente no es inyectiva, aunque todavía es un homomorphism. Para el caso de $p=2$, el valor de $z=-2$ da los buenos viejos $2$-el poder de la raíz de la unidad $z+1=-1$, por lo que el primer de los dos no es tan especiales después de todo.
