Demostrando la desigualdad con la restricción$abc=1$

Question

Para reales positivas$a,b,c$ #%, con% #%, demostrar que$abc=1$$$\frac{a^3+1}{b^2+1}+ \frac{b^3+1}{c^2+1}+\frac{c^3+1}{a^2+1} \geq 3$ x / y, y / z, z / x $, pero no me dio nada. ¿Qué otra cosa hacer? Gracias.

Answer 1

Por reordenación desigualdad, tenemos$$\sum_{cyc} \frac{a^3+1}{b^2+1} \ge \sum_{cyc} \frac{a^3+1}{a^2+1}$ $

Por lo que es suficiente para mostrar que para los positivos$x$, la función$$f(x) = \frac{x^3+1}{x^2+1}-1-\frac12 \log x \ge 0$ $ como la desigualdad es equivalente a$f(a)+f(b)+f(c) \ge 0$.

De$\displaystyle f'(x) = (x-1)\frac{2x^4 + x^3 + 7x^2 + x + 1}{2x (x^2+1)^2}$, está claro que
$f$ Está disminuyendo para$x \in (0, 1)$ y el aumento de$x > 1$.

Ahora como$f(1) = 0$, tenemos que tener$f(x) \ge 0$ para todos los$x > 0$.

Answer 2

Ya hay un completo y de gran respuesta. Esta es sólo una alternativa el uso de AM-GM en lugar de la reorganización de la desigualdad:

De la AM-GM de la desigualdad tenemos $$ \frac 13 \left(\frac{a^3+1}{b^2+1}+ \frac{b^3+1}{c^2+1}+\frac{c^3+1}{a^2+1} \right) \ge \left(\frac{a^3+1}{b^2+1} \cdot \frac{b^3+1}{c^2+1} \cdot \frac{c^3+1}{a^2+1} \right)^{1/3} $$ por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$ \frac{a^3+1}{a^2+1} \cdot \frac{b^3+1}{b^2+1} \cdot \frac{c^3+1}{c^2+1} \ge 1 \, . $$ De $$ 0 \le (a^2 - 1)(a-1) = 2(a^3 +1) - (a^2+1)(a+1) $$ de ello se sigue que $$ \frac {a^3+1}{a^2+1} \ge \frac{a+1}{2} \, , $$ esto es crucial estimación dada por Macavity en el comentario Demostrar la desigualdad con la restricción $abc=1$anterior. Continuamos con $$ \frac{a+1}{2} \ge \sqrt{1 \cdot} = \sqrt a \, $$ el uso de AM-GM de nuevo.

Lo mismo vale para los $b$$c$, esto le da $$ \frac{a^3+1}{a^2+1} \cdot \frac{b^3+1}{b^2+1} \cdot \frac{c^3+1}{c^2+1} \ge \sqrt {abc} = 1 \, . $$

Answer 3

Por la desigualdad reordenamiento tenemos$$\sum_{cyc} \frac{a^3+1}{b^2+1}\ge \sum_{cyc} \frac{a^3+1}{a^2+1}$ $ $$\frac{a^3+1}{a^2+1}=a-\frac{a-1}{a^2+1}\ge a-\frac{a-1}{2a}=a+\frac{1}{2a}-\frac{1}{2}$ $

que appied AM$\ge$ de GM para el denominador después de añadir 3 término obtenemos$$\sum_{cyc} \frac{a^3+1}{a^2+1}\ge\sum_{cyc} a+\sum_{cyc} \frac{1}{2a}-\frac{3}{2}$$ and again $ AM \ GE GM \ GE HM$ $$\sum_{cyc} a+\sum_{cyc} \frac{1}{2a}-\frac{3}{2}\ge 3$ $