La desigualdad. $\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}} \leq 3$

Question

Dejemos que $a,b,c \gt 0$ . Demostrar que (Usando Cauchy-Schwarz) : $$\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}} \leq 3$$

He intentado utilizar Cauchy-Schwarz de la siguiente forma $$\sqrt{Ax}+\sqrt{By}+\sqrt{Cz}\leq \sqrt{(A+B+C)(x+y+z)}\tag{1}.$$

He escrito $$\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}=\frac{\sqrt{2a(c+a)(a+b)}+\sqrt{2b(b+c)(a+b)}+\sqrt{2c(b+c)(c+a)}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}.$$

y luego apliqué en $(1)$ : \begin{eqnarray} A &=& 2a(c+a) &\mbox{and}& x=a+b;\\ B &=& 2b(a+b) &\mbox{and}& y=b+c;\\ C &=& 2c(b+c) &\mbox{and}& z=c+a , \end{eqnarray}

pero no he obtenido nada. Gracias por su ayuda :)

Answer 1

Denote $$S = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}$$

La desigualdad no se mantiene. Claramente, tomando $b=c=0.05, a=5$ implica $$\sqrt{2}S>\sqrt{\frac{2a}{b+c}} = 10 > 3$$ Con este método, se demuestra fácilmente que no existe ningún límite superior.

Para obtener un límite inferior, observe en primer lugar que cuando $a = b, c \rightarrow 0$ , $S \rightarrow 2$ . Vamos a demostrar que $S \ge 2$ para los reales no negativos $a,b,c$ .

Lo tenemos, $$\frac{a+b+c}{2a} = \frac 12 \left(\frac{b+c}{a} + 1 \right) \ge \sqrt{\frac{b+c}{a}} \\ \implies \sqrt{\frac{a}{b+c}} \ge \frac{2a}{a+b+c}$$ Sumando las otras dos desigualdades similares, obtenemos el resultado.

Answer 2

Te has equivocado. Debería ser: $$ \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}} \leq 3 $$

Véase mi comentario sobre La desigualdad. $\sqrt{\frac{11a}{5a+6b}}+\sqrt{\frac{11b}{5b+6c}}+\sqrt{\frac{11c}{5c+6a}} \leq 3$ para una prueba.

Answer 3

Comenzaremos con una observación. Consideremos la función $$f(a,b,c)=\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}} .$$ Tiene la propiedad de que $$f(ta,tb,tc)=f(a,b,c).$$ Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $$a+b+c=1$$ , estableciendo $$t=\frac{1}{a+b+c}.$$ Bajo este supuesto, podemos reescribir la función como $$\sqrt{\frac{2a}{1-a}}+\sqrt{\frac{2b}{1-b}}+\sqrt{\frac{2c}{1-c}}$$ Si $a=1-\epsilon$ para $\epsilon>0$ , $b+c=\epsilon$ . Ahora, para que estas raíces cuadradas estén definidas sobre los reales, hay que tener en cuenta que $0\leq a,b,c<1$ lo que significa que $b,c<\epsilon$ . Ahora bien, para tal $\epsilon$ , $$\sqrt{\frac{2b}{1-b}}, \sqrt{\frac{2c}{1-c}}$$ son ambos cercanos a cero, y $$\sqrt{\frac{2a}{1-a}}$$ es grande.

Answer 4

Por AM-HM, $\frac{2(a+b+c)}{3}\ge\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}$$ \implies(2a+2b+2c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3^2$ .

Por Cauchy-Schwarz, $(2a+2b+2c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\right)^2$ .

Así, $\left(\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\right)^2\le3^2$$ \implies\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\le3$ .