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Obteniendo el valor del determinante de la matriz original de la matriz triangular superior

A veces, cuando la búsqueda de la triangular superior de la matriz, creo que podría suceder para cambiar filas para hacer el proceso más corto. Dicen que para esta matriz: $$ A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 3 & -3 & 2\\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

El determinante de es $\left | A \right | = -5$.

A continuación, para encontrar el triangular superior de la matriz de Una, pensé que tal vez conmutación row2 y la fila 3 podría hacer que el proceso sea más sencillo. Así que hice esto: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} $$ Y yo que este sea B de esta forma: $B=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$.

Me imagino a cabo en la escuela elemental de filas: $$ E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2& 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Multiplicar en la escuela elemental de fila matrices la matriz $B$: $$ E_{31}\cdot E_{21}\cdot B= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

Ahora tengo en el triángulo superior de la matriz B, que es también el triángulo superior de la matriz $A$. Luego hacer una comprobación de su determinante: $1\cdot 1\cdot 5=5$.

Para mi sorpresa, me sale $5$ en lugar de $-5$! Me doy cuenta de que esto es debido a que $\left | B \right | = 5$. Pero como yo ya había una fila de intercambio para obtener el triángulo superior, ¿cómo puedo asegurarme de que su determinante es también la misma que la de su matriz original $A$, que debe ser $-5$? Pensé que esto es muy importante porque a veces puedo usar esto para encontrar el valor determinante de una mayor dimensión de las matrices.

Gracias por la ayuda.

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