Puede $\sqrt{p}^{\sqrt{p}^{\sqrt{p}}}$ ser un número entero, al $p$ es un no-cuadrado entero positivo?
Por supuesto, parece que nunca pero hay una prueba de la realidad, o quizás algo espeluznante $p$ que la hace válida?
Respuesta
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Aunque un número casi seguramente no puede ser un número entero, parece que esto debería ser un problema abierto todavía.
Sin embargo la afirmación de que no puede no ser un número entero seguiría de Schanuel de la conjetura:
Dado cualquier $n$ números complejos $z_1,\dots,z_n$ que son linealmente independiente de más de $\mathbb{Q}$, la extensión del campo $\mathbb{Q}(z_1,\dots,z_n, e^{z_1},\dots,e^{z_n})$ tiene trascendencia grado mínimo de $n$$\mathbb{Q}$, es decir, el conjunto $\{z_1,\dots,z_n, e^{z_1},\dots,e^{z_n}\}$ contains at least $$ n algebraica números independientes.
Esta es una declaración fuerte. Por ejemplo, supongamos $z_1 = 1$$z_2 = i\pi$. Entonces el conjunto $\{1, i\pi, e, -1\}$ debe contener dos algebraicamente independiente de los números. A continuación, $\pi$ $e$ sería algebraicamente independientes, mostrando que, por ejemplo, $e+\pi$ $e\pi$ son trascendentales (que de otro modo es un problema abierto).
Ahora considere la posibilidad de una expresión algebraica número $\alpha$ que es irracional (como $\sqrt{m}$ $m$ no es un cuadrado). Por el Gelfond-Schneider teorema, $\alpha^\alpha$ es trascendental. Por lo tanto, $\log \alpha$, $\alpha \log \alpha$, y $\alpha^\alpha \log \alpha$ $\mathbb{Q}$- linealmente independientes.
Por Schanuel de la conjetura, el conjunto $$\log \alpha, \alpha \log \alpha, \alpha^\alpha \log \alpha, \alpha, \alpha^\alpha, \alpha^{\alpha^\alpha}$$ contiene al menos tres elementos que son algebraicamente independientes. Pero $\alpha$ es algebraico. También se $\alpha \log \alpha$ $\alpha^\alpha \log \alpha$ son algebraicamente depende de $\log \alpha$$\alpha^\alpha$, por lo que $\log \alpha$, $\alpha^\alpha$ y $\alpha^{\alpha^\alpha}$ debe ser algebraicamente independiente.
En particular, $\alpha^{\alpha^\alpha}$ debe ser trascendental.
Para más sobre este tema, incluyendo más y más fuertes consecuencias en Schanuel de la conjetura, por favor, consulte los documentos de Marques y Sondow, Schanuel de la conjetura y algebraica de las potencias $z^w$ $w^z$ $z$ $w$ trascendental y La Schanuel Subconjunto Conjetura implica Gelfond de Alimentación de la Torre de la Conjetura.
Me interesaría si alguien pensaba que, con este tipo de problema, que probar que algo no es racional o no es un entero podría ser mucho más manejable que la prueba es trascendental.
