¿Es cada número hasta un valor de la función de Carmichael?

Question

Excepto el 1, son incluso todos los demás valores de la función de Carmichael $\lambda$. ¿$\lambda$ Toma todos los números pares? ¿Existe una familia infinita de números que no son valores de $\lambda$?

Esta cuestión se planteó en los comentarios a lo que es la inversa de la función de Carmichael?.

Answer 1

El Carmichael función está definida recursivamente por las siguientes fórmulas:

1. Si $p_1,\ldots,p_n$ son distintos de los números primos, entonces $$ \lambda(p_1^{k_1} \cdots p_n^{k_n}) \;=\; \text{lcm}\bigl(\lambda(p_1^{k_1}),\ldots,\lambda(p_n^{k_n})\bigr) $$

2. Si $p$ es una extraña primer y $k\geq 1$,$\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1)$.

3. $\lambda(2) = 1$, $\lambda(4) = 2$, y $\lambda(2^k) = 2^{k-2}$$k \geq 3$.

Desde $\lambda(p^k)$ es incluso para cualquier potencia principal $p^k$ otros de $2$, los valores Carmichael función son siempre igual, excepto por $\lambda(1) = \lambda(2) = 1$.

Por otra parte, si $p$ es una extraña primer y $p \mid \lambda(n)$, entonces:

1. $(p-1) \mid \lambda(n)$, o

2. $p \mid (q-1)$ $(q-1) \mid \lambda(n)$ para algunos prime $q$.

Esto impone severas restricciones en los valores de la Carmichael función. En particular, si $p$ es una extraña primer y $2p+1$ no es primo, entonces $2p$ no es un valor posible de la Carmichael función. Por lo tanto, los números de $\{14,26,34,38,\ldots\}$ no surgen como los valores de la Carmichael función.

Tenga en cuenta que esta lista no es exhaustiva. Por ejemplo, $68$ no es un valor de la Carmichael función, aunque no de la forma que he indicado.

Answer 2

También tenga en cuenta que la lista de valor aún no adoptadas por $\lambda$ o $\phi$ es infinito. De hecho, puede ser demostrado que la mayoría números no están en la imagen de o $\lambda$ o $\phi$.