Caracterización del seno

Question

Estoy en busca de una simple prueba de este resultado:

Si satisface el $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ $f'(0)=1$ y $|f^{(n)}(x)|\leq 1$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ y cualquier $n\in\{0,1,2,\ldots\}$ y $f(x)=\sin(x)$.

Una prueba (por el teorema de Paley-Wiener y análisis complejo) se puede encontrar aquí: http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~nicoleau/sinus.pdf

Answer 1

Este enfoque debe hacer el trabajo muy bien. $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ garantiza $f\in L^2(-\pi,\pi)$, por lo tanto podemos asumir que

$$f(x) = k_0 + s_1 \sin(x)+c_1 \cos(x)+\sum_{n\geq 2}\left(c_n \cos(nx)+ s_n\sin(nx)\right) \tag{1}$$ vale para cualquier $x\in(-\pi,\pi)$. Desde $|f^{(n)}(x)|\leq 1$ tenemos $\int_{-\pi}^{\pi}f^{(n)}(x)^2\,dx \leq 2\pi$.
Por otro lado, por el teorema de Parseval, para cualquier $m\geq 1$ hemos

$$ \int_{-\pi}^{\pi}f^{(m)}(x)^2\,dx = \pi(s_1^2+c_1^2)+\pi\sum_{n\geq 2}n^{2m}(c_n^2+s_n^2) \tag{2}$$ por lo tanto, a fin de que $\int_{-\pi}^{\pi}f^{(m)}(x)^2\,dx \leq 2\pi$ cualquier $m\geq 1$ necesitamos tener $$ \forall n\geq 2,\qquad c_n=s_n=0.\tag{3} $$ Esto demuestra$^{(*)}$ las únicas funciones el cumplimiento de nuestras limitaciones son funciones de la forma $f(x)=k_0+s_1 \sin(x)+c_1\cos(x)$. Mediante la imposición de $f'(0)=1$ obtenemos $s_1=1$ y por la imposición de $\left|f(x)\right|\leq 1$ obtenemos $k_0=c_1=0$ como quería.

$(*)$ En el intervalo de $(-\pi,\pi)$. Por otro lado las limitaciones que implica que $f$ es toda una función, por tanto, una vez $f$ se define en $(-\pi,\pi)$ puede ser prolongated de una manera única para toda la recta real.
O se puede aplicar el mismo argumento una y otra vez, primero en $L^2(-\pi,\pi)$,$L^2(-2\pi,2\pi)$, luego en $L^2(-4\pi,4\pi)$, $\ldots$, concluyendo que $f(x)=\sin(x)$ sobre cualquier intervalo de la forma $(-2^N\pi,2^N\pi)$, es decir, en toda la recta real.

En los comentarios de abajo Bob Pego hace una observación importante: para garantizar que la serie de Fourier de $f^{(n)}(x)$ es la formal $n$-ésima derivada de la serie de Fourier de $f(x)$ algunas hipótesis sobre la decadencia de $s_n,c_n$ tiene que ser hecho. Por suerte, el Paley-Wiener teorema de subvenciones que tienen un decaimiento exponencial. Por desgracia, en realidad no estamos esquivando que paso crucial.

La idea es libremente robado de la Turàn poder sumas desigualdad.

_{La resolución de problemas es realmente la instrucción. Antes de ver una prueba de este hecho yo estaba creyendo que era malo, y traté de construcción (no de trabajo) contra-ejemplos, como $f(x)=\frac{\text{Si}(\text{Si}(\pi x))}{\text{Si}(\pi)}$. Después de muchos intentos fallidos, me convencí de que la reclamación es correcta. Luego vi la prueba a través de Paley-Wiener, y creía que era la forma más eficiente para la comprobación de la declaración. El último paso atrás tomé fue la exhibición de esta sencilla prueba a través de series de Fourier. Gracias, David Hilbert, porque reflexiva de espacios son los bendiga.}

Answer 2

Esta prueba da una prueba completa en el caso de periódicos. No es cierto que la restricción periodizada de una función analítica en cualquier intervalo acotado (incluso si los valores de la función son iguales en cada extremo del segmento) es suave... Y no es cierto que el uso del teorema de Paley-Wiener da la mejor manera de lidiar con este ejercicio también! Hay muchas pruebas "elementales" de estos resultados incluso perturbative uno...