Es este de verdadera importancia a la matemática de la comunidad científica?

Question

Yo soy un 31 años de edad ingeniero, y recientemente he venido para arriba con una manera de predecir con exactitud la probabilidad de que el número de números primos entre dos números enteros.

Por ejemplo, con mi forma, el número de números primos entre $0$ $100$ entre $0$$50$. Y resulta que es correcto, ya que hay $25$ números primos entre $0$$100$.

Pero es que esto de alguna importancia real que me llevaría a publicar un periódico? Mi manera es puramente elemental y por lo que sospecho que los matemáticos siquiera se molestan en darle un vistazo.

Answer 1

El método en cuestión es de destacar que no hay números primos distintos de 2 y 5 son divisibles por 2 o 5, y por lo tanto cualquiera de los diez números de $10n,10n+1,\ldots10n+9$ (en realidad, cualquier diez números consecutivos) contienen en la mayoría de los 4 primos, suponiendo que el primer término es mayor que 5.

Esto puede ser mejorado mediante la eliminación de los múltiplos de 3, por lo que no 30 números consecutivos puede tener más de 8 números primos (siempre y cuando el más pequeño es de más de 5). Se trata de una mejora desde el método básico daría sólo un límite de 12 de ese intervalo. Por supuesto, esto puede ser aumentado por el lanzamiento de nuevos números primos como 7.

De hecho, con más sutileza puede demostrar cosas acerca de intervalos menores que el mínimo común múltiplo de los números primos se utiliza, y esto ha sido hecho para los intervalos de longitudes de hasta quizás 3000. Para grandes intervalos de métodos analíticos han sido utilizados que restringir el número de números primos que pueden aparecer.

Este no es un nuevo resultado, pero la familia de los resultados es importante! En particular, fueron un ingrediente activo en la mejora de Zhang del teorema, un paso importante hacia el gemelo primer conjetura. Lo que tenemos es sólo una pieza del rompecabezas, pero es muy grande, de intrincado rompecabezas. Estar contento de que hayas visto la parte de ella!

Answer 2

A partir de la descripción en los comentarios, que me animan a poner en el post en sí — su método es esencialmente trivial. Usted proporciona un límite de $\frac4{10}n$ para el número de números primos en el rango de $[x, x+n]$, independiente de $x$; es decir, su obligación es lineal en la longitud del intervalo. Pero, de hecho, mucho mejor los límites son conocidos - se puede demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n(\pi(x+n)-\pi(x)) = 0$, mientras que su método sólo muestra que este límite es $\leq\frac4{10}$. Se ha diseñado una mejora marginal en la 'simple' atados de $\frac12=\frac5{10}$, obtenido mediante la observación de que los números primos mayores que dos son impares, también por 'cribado' factores de $5$; tenga en cuenta que usted podría haber conseguido un mejor obligado por no trabajar en decimal y en lugar de cribado de los factores de $3$, dando un salto de $\frac12-\frac16=\frac13$ — o por tamizado a cabo $3$ e $5$ (por ejemplo, teniendo en cuenta los intervalos de longitud de 30 en lugar de longitud 10), dando un salto de $\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac15\right) = \frac4{15}$.

Por otro lado, en cierto sentido, estás en el camino correcto " para algunos de los fundamentos de la teoría de los números: la versión generalizada de este producto — $\prod_{p=2}^k\left(1-\frac1p\right)$ — es esencialmente la probabilidad de que un número es divisible por ningún primer menos de $k$; y de hecho, se puede demostrar que el producto en sí diverge a $0$ como tomamos $k\to\infty$. Si usted mira de cerca, esto proporciona otra prueba de que existen infinitos números primos; si no existiera, entonces es claro que el producto tendría para "converger" para algún valor finito, porque iba a terminar! Las estimaciones sobre cómo este producto se bifurca son una manera de crear el Primer Número Teorema que se alude en las otras respuestas y comentarios, que es sin duda la más fundamental de resultado en el análisis de la teoría de números. Este particular 'descubrimiento' no puede ser de ningún mérito, pero si estás interesado en el tema os animo a seguir por este camino; tenemos mucho que aprender por delante, pero hay un montón de material interesante para ser tenido!

Answer 3

Sólo para encender la chispa de la curiosidad, voy a probar que un elemental límite inferior en $\pi(m)$ sobre el nombre de la comunidad, ya que esto no responde a la pregunta. Esencial teorema se usa aquí: cada número $n$ es de la forma $ab^2$ con squarefree $a$. Compruebe por usted mismo utilizando TLC que $a=p_1p_2\cdots p_k$, por lo que no los cuadrados de los números primos aparecen en $a$. Usted puede ver esto de manera intuitiva cuando se considera $\sqrt{n}$, es siempre de la forma $b\sqrt{a}$.

Que dijo, elija $x$ desde el set $S=\{1,2,3,4,\ldots, m\}$ tal que $1\leqslant x=ab^2\leqslant m$, $a$ squarefree. Claramente, tenemos $m$ possiblilities para elegir a $x$. Eso está bien; ahora, vamos a restringir el número de posibles $a$'s y $b$'s podemos elegir. Vamos a mostrar que existen en la mayoría de las $2^{\pi(m)}$ tales $a$'s y en la mayoría de las $\sqrt{m}$ tales $b$'s.

Sabemos que tenemos que $\pi(m)$ números primos entre $1$$m$. Por lo tanto, $a$ es de la forma $p_1^{\varepsilon_1}p_2^{\varepsilon_2}p_3^{\varepsilon_3}p_4^{\varepsilon_4}\cdots p_{\pi(m)}^{\varepsilon_{\pi(m)}}$ donde $\varepsilon_k$ es $0$ o $1$ dependiendo de si $p_k$ aparece en la factorización prima de $a$. Vemos, entonces, que hay $2^{\pi(m)}$ posible $a$'s para elegir. Y cuántas $b$'s? La clave de la restricción es que $b\leqslant\sqrt{m}$, ya que el $a\geqslant 1$.

De modo que podemos elegir en la mayoría de las $2^{\pi(m)}$ $a$'s y $\sqrt{m}$ $b$'s a formulario de $x=ab^2\leqslant m$. Sin embargo, no todos los números formados son más pequeños de lo $m$, algunos podrían superar. No importa que ahora; podemos refinar más tarde.

De esa manera, podemos establecer la $m\leqslant 2^{\pi(m)}\sqrt{m}$. Ahora, manipular para obtener $$\sqrt{m}\leqslant 2^{\pi(m)}\implies m\leqslant 2^{2\pi(m)}\implies\log_2(m)=\frac{\log(m)}{\log(2)}\leqslant 2\pi(m)\\\implies\frac{\log(m)}{2\log(2)}\leqslant \pi(m).$$

Esto podría no ser revolucionario, pero ahora sabemos que una de prueba que implican $\pi(x)$ y logaritmos, por lo que oye, no parecen sin relación, después de todo. Hay toda una clase de primaria las pruebas de delimitación $\pi(x)$ el uso de la combinatoria y técnicas relacionadas, se les puede ver en libros como Hardy y Wright o Irlanda y Rosen, del.

Answer 4

Si su método es, de hecho, de nuevo, a continuación, los matemáticos sin duda será interesados.

Sin embargo, hay una gran cantidad de trabajo existente en esta área - estimaciones y los límites de la densidad de los números primos dentro de intervalos. Tiene que leer sobre este trabajo? Como con cualquier nuevo descubrimiento, es su responsabilidad antes que nadie a poner tiempo y esfuerzo en el trabajo si es nuevo - sin duda alguna, hay un punto donde vale la pena preguntar a otras personas con más conocimiento de la literatura existente, sino para convencerlos de que vale la pena su tiempo y esfuerzo, usted debería ser capaz de demostrar que usted ha puesto un poco de esfuerzo en sí mismo.

Sin ver a su método, no podemos juzgar si es nuevo o no. Sospecho que es poco probable, me temo, sólo ya que es una zona que ha sido trabajado por tanta gente durante tanto tiempo. Sin embargo, no ser demasiado desanime si no es nuevo - muchos matemáticos' primeros descubrimientos resultan ser redescubrimientos, y aún significa descubriste algo bueno, incluso si otras personas también habían descubierto previamente. Después de haber trabajado a cabo de forma independiente, usted estará en una mejor posición para leer sobre las relacionadas con el trabajo existente y, a continuación, tal vez tener un punto de partida para encontrar cosas nuevas!

Answer 5

Sí, probabilística de primalidad pruebas y los gadgets son muy comunes. Ellos ayudan a la encriptación, por ejemplo, facilitando el candidato de los números primos.

Sin embargo, es difícil decir si su particular forma de hacerlo es digno de ser publicado, especialmente sin verlo. Esto es bastante extensamente estudiado área.