Diagonalized matriz - es cada columna un vector propio?

Question

Todo lo de abajo es correcta. Pero tengo una pregunta en la parte inferior (amarillo).

Dada es la matriz $A=\begin{pmatrix} 11 & 0 & -6\\ 0 & 5 & -6\\ -6 & -6 & -2 \end{pmatrix}$, que es diagonalizable.

Los valores propios son

$$\lambda_1= -7\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \lambda_2= 7\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \lambda_3=14$$

Los subespacios propios son

$E_{A}(\lambda_1) = \left\{ \begin{pmatrix} \frac{z}{3}\\ \frac{z}{2}\\ z \end{pmatrix} \mediados de z \in \mathbb{R}\right\}, E_{A}(\lambda_2) = \left\{ \begin{pmatrix} \frac{3}{2}z\\ -3z\\ z \end{pmatrix} \mediados de z \in \mathbb{R}\right\}$

$E_{A}(\lambda_3) = \left\{ \begin{pmatrix} -2z\\ -\frac{2}{3}z\\ z \end{pmatrix} \mediados de z \in \mathbb{R}\right\}$

Digamos que me iba a determinar una base ortonormales $(v_1,v_2,v_3) \in \mathbb{R}^{3}$ de los vectores propios de a $A$, puedo solo escribe la matriz en su diagonalized forma y continuar allí la determinación de una base ortonormales? Debería ser posible iff cada la columna es un vector propio de la subespacio propio, ¿verdad? Es?

De modo que la matriz de Una diagonalized es de $A_D= \begin{pmatrix} -7 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 14 \end{pmatrix}$

Ahora puedo decir que $v_1= \begin{pmatrix} -7\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 14 \end{pmatrix}$ y determinar la base ortonormales con estos? Lo siento por hacer esta pregunta tan larga, yo no sabía cómo mantenerlo corto. Espero que usted me puede ayudar de todos modos.

Answer 1

Pero las columnas de a $A_D$ son NO autovectores de a $A$. Ellos más bien describir la acción de $A$ sobre los vectores propios. Los vectores propios son esencialmente enumerados en los subespacios propios que ya se encuentra. Por ejemplo, de $E_A(\lambda_1)$ podemos ver que un autovector correspondiente a $\lambda_1=-7$ es $$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1/3\\1/2\\1\end{pmatrix}$$ o de cualquier vector paralelo a la misma, es decir, cualquier valor distinto de cero múltiples de la misma. De hecho, si usted necesita una base ortonormales, tendrás que renormalize este vector para obtener sus múltiples cuya longitud (norma) es $1$. Del mismo modo para los otros dos.

Buenas noticias, sin embargo: usted no necesita preocuparse acerca de los vectores de ser ortogonal a cada uno de los otros, porque los vectores propios correspondientes a los diferentes valores propios son automáticamente ortogonal.

Answer 2

Así pues, usted quiere encontrar una base de la eigenvectores pero el $v_i$'s que figuran corresponden a la diagonalized de la matriz y por lo tanto corresponden a los eigenvalores.

¿Cómo podemos encontrar una base para cada espacio propio? Bien, consideremos $E_A(\lambda_1)$. Cada vector en este espacio es un múltiplo de a $(1/3, 1/2, 1)^T$ (esto es fácil de comprobar), y por lo tanto $(1/3, 1/2, 1)^T$ es una base para el subespacio propio $E_A(\lambda_1)$. Para hacer esta normalizado, queremos que la longitud del vector a ser exactamente $1$. Podemos hacer esto mediante el cálculo de la norma de los vectores y dividiendo cada elemento de la norma. Así que para esta base, la longitud es de $\sqrt{(1/3)^2 + (1/2)^2 + 1^2}$. Dividiendo cada elemento en el vector por $\sqrt{(1/3)^2 + (1/2)^2 + 1^2}$ nos da el vector normalizado $(2/7, 3/7, 6/7)^T$ (después de algunos álgebra y la reducción de fracciones).

Podemos continuar haciendo esto para cada subespacio propio. Debemos conseguir los tres vectores normalizados.

Answer 3

Tenga en cuenta que $A$ es una matriz simétrica, por lo que puede ser diagonalized por una matriz ortogonal ( ver las propiedades de matrices simétricas aquí).

La matriz que diagonalize $A$ no $A_D$, pero la matriz$M$$A=MA_DM^{-1}$, que es la matriz que tiene por columnas los vectores propios de las correspondientes autovalores de la diagonal de a $A_D$.

De hecho, los subespacios propios que se han encontrado son ortogonales como se puede verificar fácilmente. Esto significa que para cualquier valor de $z \ne 0$ que usted puede elegir, usted tiene tres vectores ortogonales y, si lo desea, puede normalizar estos vectores para obtener una base ortonormales.

Answer 4

El % de matriz $A_D$contiene los valores propios a lo largo de las entradas de la diagonal; no, las columnas son los vectores propios. Ya tienes los subespacios propios, que son sólo los vanos de los vectores propios.

Por ejemplo, tomar $z = 1$. Es generalmente mejor escoger una base de vectores propios orthonormal, así normalizar cada vector propio una vez que tenga su base.

Answer 5

La respuesta es no. Si desea que los vectores propios, los tome de los subespacios propios; son las luces de cada uno de los vectores propios.