Punto estacionario de una función suave $f:\Bbb R^2\to \Bbb R$

Question

¿Que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R^{2}})$ es una función tal que: $$\lim_{y \to \pm \infty} f(x,y)=+\infty, \ \forall x \in \mathbb{R},$$ and that $%$ $\lim_{x \to \pm \infty} f(x,y)=-\infty, \ \forall y \in \mathbb{R}.$con esta hipótesis, un punto inmóvil existir necesariamente? Estoy buscando ya sea una prueba de la existencia o un contraejemplo. Suena falso para mí, pero no he encontrado un contraejemplo.

Answer 1

Creo que este problema puede ser resuelto utilizando una versión de el Paso de Montaña Teorema. Vamos $$m = \min_{y \in \mathbb R} f(0,y)\,,$$ la cual existe por $\lim_{y \to \pm \infty} f(0,y) = +\infty$. Porque de la otra condición límite no existe $x_- < 0 < x_+$, de tal manera que $$f(x_-,0) < m \;\text{and}\; f(x_+,0) < m\,.$$ Ahora consideremos el conjunto $$\Gamma = \{ \gamma \in C([0,1], \mathbb R^2 \,:\, \gamma(0) = (x_-,0),\, \gamma(1) = (x_+,0) \}\,,$$ de continuo caminos entre el$(x_-,0)$$(x_+,0)$. A continuación, una versión de el Paso de Montaña Teorema nos debe permitir a la conclusión de que $$c = \inf_{\gamma \in \Gamma} \max_{t \in [0,1]} \gamma(t)\,,$$ es un valor crítico de $f$.

Hay varias formulaciones del teorema y no tengo el derecho de formulación en la mano, pero esta pregunta en MathOverflow así como Wikipedia debería contener enlaces a la bibliografía correspondiente.

Answer 2

$\color{red}{\text{Misinterpreted OP's question, so this is merely an example!}}$ Considere la función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: (x,y) \mapsto y^2 - x^2$.

Desde este mapa es un polinomio en las variables$x,y$$C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$.

Por otra parte, tenemos que $$\lim_\limits{y \to \pm \infty}f(x,y) = \lim_\limits{y \to \pm \infty}(y^2 - x^2) = + \infty - x^2 = + \infty$$ y de la misma manera, se puede demostrar que $\lim_\limits{x \to \pm \infty}f(x,y) = - \infty$.

Desde ya tenemos que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, sabemos que la función es diferenciable en cada punto y nos encontramos con que el gradiente de $f$ es igual a $(-2x, 2y)$, mostrando que el $(0,0)$ es de un punto fijo.

En las siguientes imágenes se muestra la gráfica de $f$. El eje rojo es el $x$-eje, mientras que el eje verde es el $y$-eje.

Answer 3

Creo que esto es cierto. Este es un boceto de lo que me gustaría tratar aquí; es demasiado largo para un comentario, así que yo me estoy poniendo esto como una respuesta.

(1) Para cada $y_0$, existe un $x_0$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x}=0$$(x_0,y_0)$, y la garantía de un punto de $(x_1,y_1)$ mismo a la inversa con respecto a $y$.

(2) la Suavidad garantizará para cualquier $x_2$ cerca de $x_0$ habrá otro $y_2$, en el barrio de $y_0$ tales $\frac{\partial f}{\partial x}=0$$(x_,y_2)$. Desde aquí se puede construir 2 curvas en el plano xy, uno de los puntos fijos con respecto a $x$, y uno de los puntos fijos con respecto a $y$.

(3) a Continuación, muestran que estos 2 curvas se cruzan.

Estoy seguro de que (1) y (2) de trabajo. Si (3) no funciona, podría darle la forma de construir un contraejemplo.