Colorear el hexecontaedro pentagonal

Question

Así, me gustaría que el color de la pentagonal hexecontahedron de una manera que sea satisfactoria estéticamente y matemáticamente. Para mí, esto equivale a que, en orden de prioridad - 1. No del mismo color las caras comparten un borde 2. Debemos utilizar como pocos colores como sea posible 3. Debemos tener tanto la simetría como sea posible

He aquí una 5-de color pentagonal hexecontahedron - 5 colores es mucho, pero es bueno que aparentemente no hay caras adyacentes con el mismo color. Claramente no muy simétrica, aunque (si es que, es oscurecida por el gran número de colores).

Por la cuatro-color teorema, sabemos que se puede hacer con 4. Sé que no se puede hacer con 3, prueba a continuación. Así, la estética de la cuestión se reduce a "¿cómo simétrica de 4 para colorear podemos hacer?".

Por el camino, es posible que el color del deltoides hexecontahedron con sólo tres colores, sin el mismo color de las caras de tocar, y con quirales simetría octaédrica. He aquí una bella pieza de origami diseñado por Tomoko Fuse que hace esto.

Responder a esta pregunta y usted será acreditado en un documental acerca de la estructura del virus! Estoy coloreando un Satélite Virus del Mosaico del Tabaco

EDITAR por lo que el origami uno que me muestran es en realidad bastante simétrica! Pero todavía no enormemente utilizable ya que (I) usted tiene que fijar la vista en ella por un tiempo para ver.

Answer 1

Aquí está uno de 4 coloración:

Frente:

De nuevo:

Para su comodidad, aquí está una lista de vértices con coordenadas xyz, y aquí está una lista dando el vértice de los números de cada cara y el color de la cara.

Answer 2

Mucho más simétrica solución! Es la "opción 3" en el esquema de abajo

Aquí es cómo esto se deduce:

Sea S el grupo de icosaédrica de rotación de simetrías. Escribir PH para pentagonal hexecontahedron.

(1) Si usted está buscando para no trivial de las simetrías en S que preservar para colorear de un PH, no hay ninguno, como la rotación de los swaps de unos dos caras adyacentes que debería tener el mismo color.

(2) Si usted está buscando para no trivial de las simetrías en S que permutar un 4 para colorear de un PH, probablemente pueda encontrar con ensayo y error... usted no tiene que considerar 5-orden simetrías como 5 es el primer y más grande que la de 4.

(3) Más interesante es lo que yo creo que usted está buscando: una de 4 para colorear de un PH cuyo grupo G de las simetrías que permutar sus colores son transitivos (esto es, para cualquier par de colores que hay una simetría en la S que intercambia los dos colores). Por lo que G es un subgrupo de S: podemos ver los subgrupos de S aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Chiral_icosahedral_subgroup_tree.png Pero G es también un grupo de permutaciones de cuatro colores, por lo que puede ser visto como un subgrupo de S4 https://en.wikiversity.org/wiki/Symmetric_group_S4 Este es nuestro apalancamiento para obtener información sobre G.

Ahora ya que G es un subgrupo de S (con 60 elementos) y S4 (con 24 elementos), su fin debe ser un divisor de gcd(24, 60) = 12. Llamada de los cuatro colores a, B, C, D. Ya que para cada color k no es un elemento de G que envía Un derecho, debe haber al menos cuatro elementos de G, entonces G es de orden 4, 6, o 12. Buscando en los subgrupos de S4 con el fin de 6 vemos que ninguno de ellos son transitivos (en cada caso, hay un color que no se intercambia con cualquier otro color de cualquier elemento de G), por lo que G tiene orden de 4 o 12.

Hay 7 subgrupos de S4 de orden 4. Tres de ellos son isomorfo a Z4 y Z4 no aparece como un subgrupo de S (S no 4-rotaciones) por lo que sólo es necesario considerar los cuatro isomorfo a V (Klein cuatro grupo). Los tres primeros son idénticos (hasta interno de automorfismos de S4) así que en realidad sólo estamos considerando dos casos diferentes, donde G es de orden 4.

En el primer caso, G es isomorfo a V y contiene una transposición (es decir, un elemento que swaps de dos colores a y B, mientras que la preservación de colores C y D). El PH tiene 60 caras, y de cualquiera de los 2-grupos de rotación de los 60 se enfrenta a 30 parejas que se intercambian en virtud de la rotación. Para una rotación para mantener un color debajo de intercambio, de que color debe aparecer en un número de caras. Pero a, B, C, y D aparecen en el mismo número de caras (como son permutados transitivamente), que debe ser de 60 / 4 = 15. Esto es imposible, por lo que G no contiene la transposición.

Estamos a dos casos: sea G tiene orden de 12, caso en el cual se A4 (contiene cada permutación de los cuatro colores), o tiene orden 4 y es isomorfo a V y contiene incluso permutaciones de orden 2 (es decir, los elementos de G son las señas de identidad; intercambio de a <-> B, C <-> D, el intercambio de Un <-> C, B <-> D, y el intercambio de Un <-> D, B <-> C). Tenga en cuenta que el primer grupo contiene el último grupo, por lo que si no podemos encontrar el último grupo en todo, sabemos que nada de esto es posible.

De todos modos, no sé a partir de aquí cómo determinar si hay una 4-coloración de PH de tal forma que su grupo G de las simetrías que permutar los colores es el grupo descrito. Un grupo G es generado por dos elementos de s y t, cada uno de los cuales es un 2-rotación alrededor de un eje. Hay 5 maneras de elegir un par de 2 ejes en S hasta las rotaciones en S (que me di cuenta al mirar en esto por un momento: https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#/media/File:Sphere_symmetry_group_i.png ). Para cada par de elementos de s y t se puede buscar un 4-coloración que satisface todas las necesarias limitaciones. Me imagino que la mayoría de las posibilidades puede ser eliminado rápidamente a través de ensayo y error, debido a las limitaciones que realmente restringir las formas posibles de color mucho.

Me fui por delante y miró para 4-colorantes que tienen sus colores permutan en 12 diferentes maneras (es decir, tienen A4 o tetrahedal simetría), que es la más posible (hay que recordar que he argumentado G puede tener 4 o 12 elementos). De hecho, si no he cometido algún error, hay exactamente 4 de estos colorantes! Así que sí existen altamente simétricas 4-el color de la PH.

Voy a tratar de dar un procedimiento escrito. Primer G = A4 aparece de 4 maneras distintas en el interior de S, por lo que necesita para elegir la que va a utilizar para las simetrías de su coloración. (Hay cuatro maneras en que usted puede poner un tetraedro dentro de un PH, por lo que las simetrías del tetraedro son también las simetrías de la PH.) Tendrá 3 ejes de 2-rotación, todos los perpendiculares uno al otro, y 4 ejes de 3-rotación, corte en diagonal con respecto a la de 2 ejes de rotación. Vamos a ignorar todos los demás ejes de rotación durante esta discusión, sólo estamos interesados en los ejes de rotación de los elementos de G.

Cada uno de los ejes de 3-rotación conserva uno de los colores y los ciclos de los otros cuatro; usted puede elegir la que hace que el color de forma arbitraria (en tanto que cada uno de los 3 ejes conserva un color diferente). Seguir la pista de que el color de cada uno de los 3 ejes de conservas vamos a necesitar momentáneamente.

Primero pintamos cada cara que está en contacto con una de 2 ejes, de la siguiente manera. Para cada cara de la F1, encontrar la cara F3 que está en contacto con una de 3 ejes que comparte un vértice, pero no un borde con la F1. Dar la F1 el color conservado por que de 3 ejes.

Ahora tenemos el color de cada conjunto de 5 caras que comparten un vértice. Va alrededor de las agujas del reloj llamar el caras F1, F2, F3, F4, F5, donde F1 toca a una de 2 ejes y F3 y F5 táctil de 3 ejes. (Si esto no es posible, su PH es volteado relativa a la mía para utilizar en el sentido contrario.) Dejar que Un ser del color fijo por el eje de tocar F3. Deje que C sea el color fijo por el eje de tocar F5. Vamos a B el color de la cara de compartir un borde con la F1 que ya está de color en el último paso. (Es el color que el eje de tocar F1 envía Un.) Deja D ser el otro color. Entonces, dependiendo de cuál de los cuatro colorantes que están haciendo, los colores de las teclas F1 a F5 son: Opción 1. A-D-B-A-D Opción 2. A-C-D-A-D Opción 3. A-C-D-C-D Opción 4. A-C-D-C-B