Área común a dos elipses iguales con el mismo centro pero ejes rotados por un ángulo agudo

Question

Ya algún tiempo hice este tipo de geometría y parece que me confundido ya pero se ve tan inocente. Cualquier ayuda sería bienvenida más.

La respuesta es citada para ser:

$2ab \arctan\left(\dfrac{2ab}{(a^2 - b^2) \sin\theta}\right)$

Answer 1

Como se ha señalado por G. H. Faust, sólo tenemos que hacer cuatro veces el área de la elíptica en el sector entre los ángulos $\frac{\theta}{2}$$\frac{\pi+\theta}{2}$. Multiplicando el $x$-coordinar por $b$ e las $y$-coordinar por $a$, la elipse se cae en un círculo con radio $ab$, y los vértices de la anterior elíptica sector se dividen en $$P_1=\nu\cdot\left(b\cos\frac{\theta}{2},a\sin\frac{\theta}{2}\right),\quad P_2=\eta\cdot\left(-b\sin\frac{\theta}{2},a\cos\frac{\theta}{2}\right).$$ Tenemos: $$\arg P_1 = \arctan\left(\frac{a}{b}\tan\frac{\theta}{2}\right),\qquad \arg P_2=\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{b}{a}\tan\frac{\theta}{2}\right)$$ por lo tanto: $$\widehat{P_1 O P_2}=\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}\tan\frac{\theta}{2}-\frac{a}{b}\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\right)=\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\sin\theta}{2}\left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right)\right)$$ o: $$\widehat{P_1 O P_2}=\arctan\left(\frac{2ab}{(a^2-b^2)\sin\theta}\right)$$ y por asignación de nuevo el sector circular dada por $P_1,O,P_2$ en la elíptica en el sector, obtenemos que el área de este último es $$\frac{ab}{2}\arctan\left(\frac{2ab}{(a^2-b^2)\sin\theta}\right)$$ como se indica.