Pregunta Original (ver también la versión revisada, posiblemente la más simple, la versión de abajo): Vamos a $g > 1, r > 1$ ser números enteros. Jugando con el Verlinde fórmula (ver más abajo), me llegó a través de la expresión $$\sum_{n=1}^{r-1} \sin(\pi n/r)^{2-2g} (e^{2\pi i n^2/r}-1).$$
Mi objetivo es reducir la complejidad en $r$ de esta expresión; es decir, encontrar una forma cerrada de la suma de evitar la dependencia de la $r$ en el número de sumandos. Es esto posible? He aquí un ejemplo relacionado:
El Verlinde fórmula, que, por ejemplo, tiene aplicaciones en la teoría conforme de campos, la geometría algebraica, y el quantum de la topología, es $$(r/2)^{g-1}\sum_{n=1}^{r-1} \sin(\pi n/r)^{2-2g}.$$ En este caso, se puede utilizar un truco por Szenes para reducir la complejidad de la suma: La suma puede ser escrito como $$\sum_{n=1}^{r-1} f(z_n).$$ donde $z_n = e^{\pi i n/r}$, para una adecuada función de meromorphic $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tener polos sólo en$1$$-1$. Ahora, el truco básicamente es encontrar una adecuada meromorphic forma $\mu_r$ tener polos en $2r$'th raíces de la unidad y aplicar el Teorema de los Residuos a $f\mu_k$ a reescribir dicha suma, como $$\sum_{n=1}^{r-1} f(z_n) = -\text{Res}_{z=1} f\mu_r,$$ que luego resulta ser un polinomio en $r$ grado $2g-2$.
Este truco no parece aplicar a mi un poco más complicado suma de si. Otra posibilidad podría ser que de alguna manera reescribir la suma como una suma de Gauss, pero que no parece que funcione muy bien.
"Revisado" pregunta: Así, tal vez la pregunta no tiene una respuesta sencilla, pero creo que puede ser suficiente para ser capaz de trabajar los siguientes (al menos, es un problema similar). Dicen que solo tenemos una suma igual $$\sum_{n=1}^{r-1} e^{\pi i n^2/(2r)}$$ como en el anterior (casi, de todos modos). A continuación, podemos aplicar un teorema de la reciprocidad cuadrática para simplificar el tema. Pero digo ahora que tenemos que tirar un poder de $n$) para obtener algo como $$\sum_{n=1}^{r-1} n^k e^{\pi i n^2/(2r)},$$ para $k > 0$. Puede sumas como estas que ser tratados de una manera similar a como la cuadratura de Gauss suma anterior (tal vez sólo en casos especiales como $k = 1$ o $k = 2$); puede que de alguna manera nos describir la gran $r$ asymptotics? Estándar de trucos en este campo parecen implicar sumación por partes y la de Euler--Maclaurin la fórmula, pero parece que no acaba de funcionar. Por ejemplo, en el caso de $k = 1$, suma por partes (o primaria combinatoria consideraciones) implicará $$\sum_{n=1}^{r-1} n e^{\pi i n^2/(2r)} = (r-1)\sum_{n=1}^{r-1} e^{\pi in^2/(2r)} - \sum_{j=1}^{r-1}\sum_{n=1}^j e^{\pi in^2/(2r)}.$$ Ahora, el primer término es sencillo de manejar como se mencionó anteriormente, pero el segundo parece ser peor. Alguna sugerencia?
