Encontrar las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ utilizando la norma

Question

Si definimos la norma en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ $N(\alpha)=a^2+3b^2$, luego cómo utilizamos esta norma para encontrar todas las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$.

Sé lo que es una unidad, por lo que estamos buscando todos los elementos inversible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ p. ej.

$(a+b\sqrt{-3})(c+d\sqrt{-3})=1$ así tenemos $(a-b\sqrt{-3})(c-d\sqrt{-3})=1$ que da: $$(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=1$$ so the only units are $1, -1$ pero no estoy seguro de cómo utilizar la norma para demostrarlo (o tengo como usado sin darse cuenta?)

Muchas gracias por cualquier ayuda

Answer 1

La norma es multiplicativo: $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$.

En particular, si $\alpha$ es una unidad, entonces existe $\beta$ tal que $\alpha\beta=1$, lo $1= N(1) = N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$. Por lo tanto, si $\alpha$ es una unidad, entonces la $N(\alpha)=\pm 1$.

Por el contrario, si $N(\alpha)=\pm 1$, $\alpha\overline{\alpha}=1$ o $\alpha(-\overline{\alpha}) = 1$, lo $\alpha$ es una unidad.

(De hecho, ya que la norma es siempre positivo se puede ignorar una de las posibilidades, pero fíjate que yo nunca usado en los que estamos trabajando en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$. Todos los que estamos utilizando es la de que tenemos un multiplicativo mapa de $N\colon R\to\mathbb{Z}$ para obtener la necesidad; y la suficiencia del hecho de que podemos evaluar este mapa $N$ a través de un operador unario, en este caso, el mapa de $a+b\sqrt{-3}\mapsto a-b\sqrt{-3}$. Así que el argumento generaliza fácilmente a cualquier $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ $d$ squarefree, y el anillo de enteros de cualquier Galois de la extensión de $\mathbb{Q}$)

Answer 2

Se utiliza implícitamente multiplicativity de la norma. Esencialmente la prueba equivale al hecho de que mapas multiplicativas preservan divisibilidad, por lo que si conservan $1$ luego conservan sus divisores (= unidades). Pruebo esta generalmente abajo. Poner $\rm\: \bar x = xx' =$ norma $\rm x,\:$y $\rm\: e = 1\:$ para tu caso, viz.

$$\rm unit\ \alpha\iff \alpha\:|\: 1\iff \alpha\alpha'\:|\:1 \iff unit\ \alpha\alpha'$$

Teorema de $\ $ si $\rm\:\overline{xy} = \bar x\:\bar y,\:$ y $\rm \: x\:|\:\bar x,\:$ y $\rm\:\bar e = e\:$ luego

$$\rm\:a\:|\:e \iff \bar a\:|\:e $$

Prueba $\rm\ \ (\Rightarrow)\ \ \ a\:|\:e\:\Rightarrow\: e = ab\:\Rightarrow\: e = \bar e = \overline{ab} = \bar a\:\bar b\:\Rightarrow\: \bar a\:|\:e.\:$

$\rm (\Leftarrow)\ \ \ a\:|\:\bar a\:|\:e\:\Rightarrow\:a\:|\:e.\ \ $ QED