Difícil general integral definida 0 a 1

Question

$$\int_{0}^{1} \log^2(x)\cdot x^{k+1} dx$$

Traté de integración por las piezas pero conduce a un cálculo muy complicado, que no me llevan a ninguna parte.

Entonces

Traté de diferenciar la función beta. Era en parte acertado. Pero el problema fue cuando sustituye $k+2$ y luego el digammas y trigamma actuado hacia fuera.

¿Alguna ayuda?

¡Gracias!

La serie y cualquier tipo excepto análisis complejo es agradable.

Answer 1

En primer lugar, considerar integral: $$I(k)=\int_{0}^{1}x^{k+1} dx=\frac{1}{k+2}$ $

La integral deseado es: $$I''(k)=\int_0^1\log^2(x)\cdot x^{k+1}dx=\frac{2}{(k+2)^3}$ $

Answer 2

Solución de Thijs es muy elegante. Pero el cómputo se puede hacer sin recurrir a ningún teoremas (uno necesita si quiere justificar la diferenciación bajo el signo integral).

Tenemos, integrando por partes dos veces,\begin{align} \int_{0}^{1} \log^2(x)\cdot x^{k+1} dx&=\left.\phantom{\int\!\!\!\!}\frac{x^{k+2}}{k+2}\,\log^2x\right|_0^1-\frac2{k+2}\left.\phantom{\int\!\!\!\!}\frac{x^{k+2}}{k+2}\log x\right|_0^1+\frac2{(k+2)^2}\int_0^1x^{k+1}dx\\ &=\frac2{(k+2)^2}\int_0^1x^{k+1}dx\\ &=\frac2{(k+2)^3} \end {alinee el}

Answer 3

Las dos respuestas son excelentes, pero hay una tercera algo interesante, es decir, una relación con la función Gamma: $$\int_0^1 \log(x)^2 x^{k+1}\ dx=$$ Substituting $u=-\log(x)$: $$\int_0^{\infty} u^2 \exp(-(k+1)u)\exp(-u)\ du=$$ Substituting $v=(k+2)u$: $$(k+2)^{-3}\int_0^{\infty} v^2 \exp(-v)\ dv= (k+2)^{-3} \Gamma(3)=2(k+2)^{-3} $ $