En alguna parte vi que la integral anterior es igual a $\pi/4$ para todo número real $m$.
Esto parece sorprendente. ¿Alguien tiene una buena prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
MrTuttle
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Deje que
$$\begin{align} I(m) &= \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^m)(1+x^2)}\tag{%#%#%}\\ &= \int_0^\infty \frac{t^{-2}\,dt}{(1+t^{-m})(1+t^{-2})}\\ &= \int_0^\infty \frac{dt}{(1+t^{-m})(1+t^2)}\\ &= I(-m). \end {Alinee el} $$
Pero
$$\begin{align} I(m) + I(-m) &= \int_0^\infty \left(\frac{1}{1+x^m} + \frac{1}{1+x^{-m}}\right)\frac{dx}{1+x^2}\\ &= \int_0^\infty \left(\frac{1}{1+x^m} + \frac{x^m}{1+x^{m}}\right)\frac{dx}{1+x^2}\\ &= \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}\\ &= \frac{\pi}{2}. \end {Alinee el} $$
