He leído en mi libro que $\ln(x)$ no se puede escribir como una serie de energía. Es una serie cuyos términos contienen sólo potencias de número entero no negativo de $x$. ¿Pero $\ln(x)$ puede ser escrito como una serie infinita cuyos términos contienen poderes negativos o fraccionarios de $x$? Entonces es la pregunta más grande. ¿Se pueden expresar todas las funciones con tales términos?
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jW.
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Creo que usted está probablemente haciendo referencia a una expansión sobre el valor de $x=0$, correcto? Si esto fuera posible, entonces nosotros tenemos lo que llamamos una Laurent serie de $\log z$ donde $z\in\mathbb{C}$. Laurent de la serie son esencialmente de alimentación de la serie expandido cerca de puntos singulares.
El problema con $\log z$ en el plano complejo es que es un "multi-función con valores", por lo que debemos especificar qué rango de valores que estamos considerando la función que tienen. Porque debemos hacer esta elección, la función no es continua en cualquier (perforado) el disco alrededor de $z=0$, por lo que no es (complejo) diferenciable en cualquier barrio sobre el punto. Sin embargo, se tiene que cualquier convergente Laurent de la serie es (complejo) diferenciable en algunos de anillo sobre el poste en el que se centra.
Así que, en conclusión, la respuesta es "no", porque el $\log$ función es el mal comportamiento en el plano complejo. Espero que esto ayude a responder a su pregunta; si no, sugiero leer un poco en el análisis complejo.
El "problema" con la serie de Taylor es, que ellos (ha!) convergen en discos alrededor del punto de expansión. Laurent serie tienen el mismo "problema" (anillos alrededor de la punta de la expansión). En ambos casos, el multi-valor de la propiedad de la función ln no puede ser representado. Para tener alguna posibilidad de convergencia que hemos de limitarnos a un plan de reducción.
Un ejemplo de una serie con la convergencia en un plano de corte es una serie de Padé approximants (converge en el plano complejo, sin los efectos negativos eje real). Y, de hecho, la Padé approximants convergen a la rama principal del logaritmo.
Tal approximants constan de un polinomio dividido por un polinomio. Por ejemplo $$P_6^6(x) = \frac{7 \left(-7-132 x-375 x^2+375 x^4+132 x^5+7 x^6\right)}{10 \left(1+36 x+225 x^2+400 x^3+225 x^4+36 x^5+x^6\right)} .$$ Este es el (6,6) Padé approximant en torno a la expansión del punto 1. Si usted parcela, usted va a ver, que esto ya parece el logaritmo farely pequeñas fases del complejo argumento.
Tenga en cuenta que el principal Padés son equivalentes a las fracciones continuas. Así que si no te gusta el término Padé approximant usted también podría decir, que el logaritmo puede ser representado como una continuación de la fracción.
