He aquí algunos de los resultados.
Digamos que una secuencia $a_{nm}$ de los números reales indexado por los pares de enteros positivos $(n,m)$ converge a $L$ si y sólo si para cada a $\epsilon\gt 0$ existe $N\gt 0$ tal que para todo $n,m\geq N$, $|a_{nm}-L|\lt \epsilon$.
Este es un relativamente buen estado. Tenemos:
Teorema. Supongamos que $\lim\limits_{(n,m)\to\infty}a_{nm}$ existe y es igual a $L$. A continuación, los siguientes son equivalentes:
- Para cada uno (lo suficientemente grande) $n_0$, $\lim\limits_{m\to\infty}a_{n_0m}$ existe;
- $\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{m\to\infty}a_{nm} = L$.
Prueba. Si 2 se mantiene, entonces debemos tener 1 (de lo contrario, la expresión en el 2 no tiene sentido). Ahora, supongamos que 1 tiene, y vamos a $\lim\limits_{m\to\infty}a_{nm} = L_{n}$. Queremos demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}L_n=L$.
Deje $\epsilon\gt 0$. Entonces existe $N\gt 0$ tal que para todo $n,m\geq N$, $|a_{nm}-L| \lt \epsilon$. Deje $M_N\gt N$ ser tal que para todos los $m\geq M_N$, $|a_{M_Nm}-L_{M_N}|\lt \epsilon$. Desde $M_n\gt N$, tenemos
$$|L_{M_N} - L| \leq |L_{M_N}-a_{M_Nm}| + |a_{M_Nm}-L| \leq 2\epsilon,$$
así que esto demuestra que $L_n\to L$$n\to\infty$. En particular, tenemos para la iterada límite
$$\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{m\to\infty} a_{nm} = \lim_{n\to\infty}L_n = L.\ \Box$$
Un simétrica argumento muestra que
Teorema. Supongamos que $\lim\limits_{(n,m)\to\infty}a_{nm}$ existe y es igual a $L$. A continuación, los siguientes son equivalentes:
- Para cada uno (lo suficientemente grande) $m_0$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{nm_0}$ existe;
- $\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}a_{nm} = L$.
Sin embargo, $\lim\limits_{n,m\to\infty}a_{nm}=L$ no implica la existencia de la iterada límites; de hecho, la existencia de la doble límite y la existencia de una iteración límite no es suficiente para implicar que el otro iterada límites existe. Tome $a_{nm}=\frac{(-1)^n}{m}$. A continuación, $\lim\limits_{n,m\to\infty}a_{nm}=0$ (determinado $\epsilon\gt 0$, pick $N$ tal que $\frac{1}{N}\lt\epsilon$), y el límite de $m\to\infty$ $\frac{(-1)^n}{m}$ existe para cada uno de ellos fijo $n$, pero $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{m}$ no existe para cualquier $m$. (Tomando $a_{nm} = \frac{(-1)^n}{m} + \frac{(-1)^m}{n}$ usted consigue uno en el que ni afirmar límite existe.)
Así, las condiciones suficientes para afirmar los límites que existen son:
Corolario. Supongamos que $\lim\limits_{(n,m)\to\infty}a_{nm}=L$. A continuación, el reiterado de los límites de
$$\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{nm}\text{ and }\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{nm}$$
ambos existen y son iguales a $L$ si y sólo si $\lim\limits_{n\to\infty}a_{nm}$ existe para casi todos los $m$ $\lim\limits_{m\to\infty}a_{nm}$ existe para casi todos los $n$.
(Aquí, "casi todos" significa "todos, excepto tal vez para un número finito").
Como ya he dicho, la condición anterior es bastante fuerte. Usted puede tener tanto afirmar existen límites y ser igual y, sin embargo, para el doble límite no existe. Adaptar el estándar de dos variables de ejemplo, se $a_{nm}=\frac{nm}{n^2+m^2}$. La iteración de los límites de ambos existen y son iguales a $0$, pero el doble no existe límite (para cualquier $N\gt 0$ existe $n,m\geq N$ tal que $a_{nm}=\frac{1}{2}$ y no existe $n,m\geq N$ tal que $a_{nm}=\frac{2}{5}$; tomemos $n=m=N$ para el primero, y $n=2m=2N$ para el segundo).
Usted puede conseguir que el doble límite existe y es igual a (uno) de los iterada límites, si usted tiene algunos uniformness condiciones.
No sé de ninguna de las condiciones necesarias y suficientes, y sospecho que hay en general no van a ser sin algunas otras condiciones generales. Este es esencialmente el mismo problema como el problema de afirmar los límites de funciones de dos variables (como el problema de encontrar el límite de una función real de variable real, está estrechamente vinculado con el problema de encontrar los límites de las secuencias de los números reales). Ellos están conectados a la doble límites, y que a menudo tienen condiciones basadas en la convergencia uniforme que garantiza suceden cosas buenas, pero el estado general, la simple condición para la iteración de los límites de existir y ser igual parece difícil en general.
