Partícula libre camino Matsubara Integral frecuencia

Question

Estoy tratando de calcular $$Z = \int\limits_{\phi(\beta) = \phi(0) =0} D \phi\ e^{-\frac{1}{2} \int_0^{\beta} d\tau \dot{\phi}^2}$$ sin transformando a la Matsubara el espacio de frecuencia, que puede mostrar que $Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}$. Sin embargo, tengo un problema en obtener el mismo resultado en el Matsubara el espacio de frecuencia: \begin{equation} \phi (\tau) = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \left( \sum_{n} \phi_n \ e^{i\omega_n\tau} \right), \end{equation} con $\sum_n \phi_n =0, \omega_n = \frac{2\pi n}{\beta}$. Y \begin{equation} Z = \int \prod_n D\phi_n\ \delta\left(\sum_n \phi_n\right)\ e^{-\frac{1}{2} \sum_n \phi_n \phi_{-n} \omega_n^2 } \end{equation} que, creo, se desvanece.

Supongo que el problema radica en la medida. Cualquier comentario?

Info: escribo el Schulman de la derivación en tiempo imaginario aquí. \begin{eqnarray} Z &=& \int\limits_{\phi(0) =\phi(\beta) = 0} D\phi(\tau) e^{-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}d\tau\dot{\phi}^2}\\ &=& \text{lim}_{N \rightarrow \infty} (\frac{1}{2\pi \epsilon})^{(N+1)/2} \int d\phi_1 \dots d\phi_N e^{-\frac{1}{2\epsilon} \sum_{i =0}^N (\phi_{i+1} -\phi_i)^2} \end{eqnarray}

A continuación, podemos utilizar la identidad \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} du \sqrt{\frac{a}{\pi}} e^{-a(x-u)^2}\sqrt{\frac{b}{\pi}} e^{-b(u -y)^2} = \sqrt{\frac{ab}{\pi(a+b)}} e^{-\frac{ab}{a+b}(x-y)^2} \end{equation} para evaluar la suma a ser \begin{equation} Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}. \end{equation}

Answer 1

I) La ruta integral lee

$$\tag{1} Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S},$$

con las condiciones de contorno de Dirichlet (DBC)

$$\tag{2} x(0)~=~0~=~x(T).$$

Vamos a ampliar el periódico variable $x\in\mathbb{R}$ en series de Fourier:

$$\tag{3} x(t) ~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n e^{i\omega_n t}, \qquad \omega_n~:=~\frac{2\pi n}{T},\qquad c_n^{\ast}~=~c_{-n}. $$

El DBC (2) se convierte en

$$\tag{4} \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad c_0 ~=~ -2{\rm Re}\sum_{n\in\mathbb{N}}c_n .$$

La acción se lee:

$$\tag{5} S~=~\frac{1}{2} \int_0^T \!dt~ \dot{x}^2~=~T\sum_{n\in\mathbb{N}}\omega_n^2 |c_n|^2 . $$

II) sabemos que la adecuada normalización de la ruta integral de (1) es

$$\tag{6} Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.$$

Esto puede ser, por ejemplo, deducir (sin introducir fudge factores!) a partir de la (semi)propiedad de grupo de Feynman camino integrales, cf. este Phys.SE post y los enlaces en el mismo. Hasta ahora hemos básicamente replanteado lo de OP escribió en su pregunta.

III) Ahora nos gustaría repetir el mismo cálculo usando series de Fourier, es decir, trabajar con el Matsubara frecuencias. En esta respuesta, no vamos a explorar la (semi)propiedad de grupo, pero hacer un rápido y sucio cálculo utilizando diversos fudge factores, y a ver lo que tenemos. Ya que esta es la tarea, la explicación va a ser un poco breve.

Para hacer heurística sentido de la ruta integral (1), vamos a utilizar la siguiente función zeta de regularización reglas:

$$ \tag{7} \prod_{n\in\mathbb{N}} a ~=~\frac{1}{\sqrt{a}}, \qquad \prod_{n\in\mathbb{N}} n ~=~\sqrt{2\pi}. $$

Ahora vamos a la ruta integral de medida

$$\etiqueta{8} {\cal D}x~:=~\delta\left(B\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right)\mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}}^2 \mathrm{d}^2c_n ~\stackrel{(7)}{=}~\frac{1}{B}\delta\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right) \mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{d}^2c_n , $$

donde $A$, $B$ son fudge factores. Después de realizar la función delta de la integración y el Gaussiano integrales, nos encontramos con

$$\tag{9} Z~=~\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi}{T\omega_n^2}~=~\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}~\stackrel{(7)}{=}~\frac{1}{B\sqrt{\pi T}}.$$

Al parecer, debemos eligió $B=\sqrt{2}$ para lograr la correcta normalización (6).