La prueba de que $S_3$ y $S_4$ son grupos solubles

Question

Quiero demostrar que $S_3$,$S_4$ (permutaciones en $3,4$ elementos, respectivamente) se pueden resolver.

Sé que $D_6,D_{24}$ ($D_n$=Diedro grupo de orden $n$) tienen solución y si podía probar que $S_3$ es isomorfo a $D_6$, $S_4$ es isomorfo a $D_{24}$ va a hacer el truco.

Con $S_3$ $D_6$ puedo hacer esto "el camino difícil" por la definición de la isomorfismo, pero con $S_4$ $D_24$ demostrando que la función de definir los aspectos de la multiplicación de que el grupo es demasiado trabajo y no me parece la manera 'correcta'.

Tal vez es suficiente para demostrar que el S4 es solucionable, ya que hay un $1-1$ homomorphism de $S_3 \to S_4$ ?

Yo podría utilizar un poco de ayuda con esto...

Answer 1

Que $D_6$ es isomorfo a $S_3$ es fácil: considerar cómo $D_6$ actos de una de las esquinas del triángulo de las cuales es el grupo de simetría. Sin embargo $D_{24}$ es no isomorfo a $S_4$ (considerar los elementos de orden $12$, o incluso de orden $6$, $S_4$ no tiene), por lo que ningún esfuerzo será suficiente para demostrar de esa manera. El inyectiva homomorphism (uno de los muchos) $S_3\to S_4$ no le ayudará con $S_4$. Sin embargo, hay un surjective homomorphism $S_4\to S_3$ (creo que de un tetraedro y las líneas uniendo los puntos medios de sus lados) que le ayudará a probar que $S_4$ es solucionable.