Stern Gerlach con giro en direcciones opuestas

Question

Así que para el aparato de Stern-Gerlach, suponemos que tenemos una partícula con espín arriba o espín abajo. También tenemos el campo variable, $\partial B/\partial z$ . Esta configuración inicial hace que la partícula vaya a más $\hbar$ o menos $\hbar$ .

Supongamos que en lugar de tener giro arriba/abajo en la dirección z, lo envío con un giro inicial alineado en la dirección x (la misma configuración exacta). El Hamiltoniano viene dado (para un B lineal) como $$H=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_z^2)-\mu \sigma_z(B_0+B'z)$$ Así que mis ecuaciones de movimiento para la dirección z sólo me darían $p_0t/m+z_0$ y $\dot p_x=0$ . ¿Debo tener en cuenta ahora el espín x, o la partícula no se desviará?

Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$$ {\newcommand{\bk}[2]{\left< #1 | #2 \right>} $Notice that the eigenvectors of the operator $ S_z$ abarca todo el espacio, lo que significa que se puede escribir cualquier estado como una superposición, (si se prefiere como una combinación lineal) de estos estados. La situación es similar a la de los vectores base del espacio euclídeo tridimensional habitual. Usted puede elegir vectores de base de árbol allí, por lo general se elige la siguiente:

$$\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\quad \vec y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\quad \vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad$$

Entonces puedes escribir cualquier vector $\vec v$ como una combinación lineal de estos vectores, es decir

$$\vec v = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \implies \vec v = a \vec x + b \vec y + c \vec z$$

Obsérvese que la elección de los vectores de base no es única. Podría haber elegido los siguientes vectores base si hubiera querido:

$$\vec x' = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\quad \vec y' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\quad\vec z' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad$$

para el que el vector $\vec v$ puede escribirse como

$$\vec v = a\vec x' + (b-a) \vec y' + c\vec z'$$

La situación con la partícula de espín 1/2 es casi la misma. Usted puede elegir sus vectores base para ser los vectores propios de $S_z$ en cuyo caso se escribe

$$\ket{z+} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \ket{z-} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$\implies \ket{x+}= \frac{1}{\sqrt 2} \Big( \ket{z+}+ \ket{z-} \Big)\quad \ket{x-}= \frac{1}{\sqrt 2} \Big( -\ket{z+} + \ket{z-} \Big)$$

Observe que $\ket{x\pm}$ y $\ket{z\pm}$ son los vectores propios de $S_x$ y $S_z$ respectivamente, como queríamos.

Si envías una partícula con espín $+x$ en una máquina SG alineada en el $z$ dirección, entonces la mitad del tiempo se obtiene $+z$ y la mitad de las veces $-z$ . Se puede ver inmediatamente que tomando el producto interior del estado $\ket{x+}$ con los estados $\ket{ z \pm}$ .

$$\left| \bk{z+}{x+} \right|^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac{1}{2} \qquad{\text{and similarly}} \quad \left| \bk{z-}{x+} \right|^2 = \frac{1}{2}$$

También puede elegir que sus vectores base sean los vectores propios de $S_x$ operador pero todo se complica para este problema y, en general, no quieres hacer eso.

Answer 2

Si se imagina un rayo que entra en un dispositivo Stern-Gerlach, al principio el rayo está detrás del dispositivo y luego el rayo podría desviarse a la izquierda o desviarse a la derecha después de atravesar el dispositivo.

Un dispositivo Stern-Gerlach envía un giro hacia arriba $\vert+\rangle$ a la (digamos) izquierda y un giro hacia abajo $\vert-\rangle$ a la derecha. Así que envía $\vert+\rangle\vert behind\rangle$ a $\vert+\rangle\vert left\rangle$ y envía $\vert-\rangle\vert behind\rangle$ a $\vert-\rangle\vert right\rangle$ . Por linealidad sabemos entonces cómo funciona en cualquier estado posible.

Por ejemplo algo que gira hacia arriba para la dirección x es eigen a $\sigma_x$ por lo que es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{2}}\vert+\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert-\rangle.$

Así, evoluciona (por linealidad) de $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vert+\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert-\rangle\right)\vert behind \rangle \rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vert+\rangle\vert left \rangle\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vert-\rangle\vert right \rangle\right).$$

La partícula se encuentra en una combinación lineal (superposición) de ir a la izquierda y a la derecha, y si los haces izquierdo y derecho se separan (mediante cualquier dispositivo de medición o simplemente dejando que un dispositivo normal de Stern-Gerlach termine el trabajo) entonces no sólo se desvía a la izquierda o se desvía a la derecha, sino que se convierte en spin up (en la dirección z) o spin down (en la dirección z). Las mediciones consisten en correlacionar el estado de la cosa a medir (arriba/abajo en la dirección z) con otra cosa de forma que se separen los diferentes resultados. Hacerlos ir a izquierda y derecha puede conseguir separarlos si esos haces separados pueden interactuar de forma diferente hasta el punto de que no puedan interferir entre sí nunca más de forma detectable.

Los haces reales tienen cierto grosor antes de atravesar el dispositivo y puedes utilizar la ecuación de Schrödinger para el Hamiltoniano real utilizado para medirlo para seguir el progreso del haz y verás que la corriente de probabilidad divide suavemente el haz en dos partes, el tamaño relativo de la fracción que va en cada dirección viene determinado por los cuadrados de las amplitudes $\alpha, \beta$ donde el estado de espín que entra es $\alpha\vert+\rangle+\beta\vert-\rangle.$

Véase, por ejemplo, "The pilot-wave perspective on spin", de Travis Norsen, en American Journal of Physics 82(4) 337-348 (2014); http://dx.doi.org/10.1119/1.4848217 e incluso si no lees el artículo, la figura 2 (con leyenda larga) está disponible (gratuitamente) si haces clic en la pestaña "data & media". Así que usted puede ver las líneas de corriente determinada por el flujo de corriente de probabilidad de una viga conectada en dos horquillas, esto es lo que sucede en general. Sólo que nada entra en una de las horquillas cuando estaba todo spin arriba (o todo spin abajo). Para el giro en la dirección x, la mitad izquierda va a la izquierda y la mitad derecha va a la derecha, de forma similar para cualquier dirección de giro ortogonal a la dirección z. Cuando el giro no es ortogonal a la dirección z, una fracción (diferente de la mitad) va en cada dirección.

Si quieres ver la dinámica de una medición, utiliza siempre la ecuación de Schrödinger y sigue la corriente de probabilidad, hacer otra cosa podría llevarte a un grave error.

Answer 3

Hay dos respuestas posibles, una para los que escriben fórmulas y otra para los físicos que piensan conceptualmente.

Primero: el "giro $x$ " es sólo $\sigma_x$ y sus configuraciones exactas no son más que vectores propios, como el "spin $z$ " es $\sigma_z$ y sus configuraciones exactas son simplemente los vectores de base estándar. No preguntes qué significa, porque no significa nada.

Segundo: aprender cuál es el superposición cuántica (No voy a recomendar el artículo de en.wikipedia - es feo) y luego leer el ¿Por qué, para una partícula de espín-½, los posibles resultados de la medición de la proyección del espín a lo largo de cualquier dirección son los mismos? tema. Este último no explique nada antes de que la superposición cuántica fuera realmente comprendida.