¿Modelo transitivo contable de ZFC?

Question

Si hay modelo transitivo contable de ZFC, este modelo no puede capturar los números ordinales de ZFC. Pero lo usamos para materias como forzar.

Pero esto parece violar axiomas de ZFC, por ejemplo, poder establece el axioma (tomar, $\omega = \aleph_0$ y aplicar operador conjunto potencia).

Entonces, ¿cómo podemos utilizar contable modelo transitivo de ZFC, entonces?

Answer 1

Se mezcla interna y externa de puntos de vista.

Si $M$ es una contables modelo transitivo de ZFC, entonces no sé que es contable, y ciertamente no saben que todos sus miembros son contables. Es decir, hay muchos conjuntos de $x\in M$ tal que $M\models\aleph_0<|x|$. Así, mientras que en el universo completo hay un bijection entre el $x$ $\omega$ no es un elemento de $M$.

Cuando usamos c.t.m para forzar trabajamos internamente a la hora de definir el forzamiento de la poset, y argumentamos externamente cuando hemos de probar que existe un conjunto genérico, y que la construcción de los resultados en otro contables modelo transitivo de ZFC.

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Algo relacionado con:

1. Cómo resolver Skolem de la Paradoja por la realización de lo que se puede decir de un conjunto es relativo a lo que está en el dominio de algún modelo?
2. Es esta una buena manera de explicarlos de la Paradoja de Skolem?
3. ¿Por qué no puede un modelo de "decir" de sí mismo que es contable?

Answer 2

Que $M$ ser un contable modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$. Obviamente $\wp(\omega)^M$, el conjunto que $M$ 'piensa' es el poder conjunto de $\omega$, es contable en $V$, ya que es un subconjunto de $M$, pero no hay $f\in M$ tal que $M\models\text{'}f\text{ is a bijection between }\omega\text{ and }\wp(\omega)^M\text{'}$. Así, de %#% punto de vista % de $M$% es incontable.

Es difícil al principio, pero usted tiene que mantener recto qué $\wp(\omega)^M$ 'piensa' y qué $V$ 'piensa'.

Answer 3

El conjunto que sirve en el modelo como el conjunto potencia de un conjunto no contendría todos los subconjuntos del conjunto, pero sólo todos los subconjuntos de que pertenecen al modelo.

El teorema de que el conjunto potencia de un conjunto infinito es incontable sería cierto en el modelo simplemente porque tal sistema no sería "internamente contable", es decir, enumeración del conjunto no sería un miembro del modelo.