¿Puede una integral indefinida evaluarse a cero?

Question

Problema: Evaluar $\displaystyle\int \frac{\sin x+\cos x}{\cos^2 x+\sin^4 x} \, dx$

Evalué de la siguiente manera, y de alguna manera obtuve cero :

$$I=\int \frac{\sin x+\cos x}{\cos^2 x+\sin^2 x(1-\cos^2 x)} \, dx$$

$$I=\int \frac{\sin x}{\cos^2 x+\sin^2 x(1-\cos^2 x)}dx +\int \frac{\cos x}{\cos^2 x+\sin^2 x(1-\cos^2 x)} \,dx$$

$$I=\int \frac{\sin x}{1-\sin^2 x\cos^2 x} \, dx +\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x\cos^2 x} \, dx$$

$$I=I_1+I_2$$

Sustituyendo $\cos x=t$ en $I_1$ y $\sin x=u$ en $I_2$

Esto da : $$I_1=-\int \frac{1}{1-(1-t^2)t^2} \, dt$$ y $$I_2=\int \frac{1}{1-u^2(1-u^2)} \, du$$

Desde $I_1=-I_2$ , $I=0$

Mi libro de texto me da la respuesta : $$I=\frac{1}{2\sqrt{3}}\log\left(\frac{\sqrt{3}+\sin x-\cos x}{\sqrt{3}-\sin x+\cos x}\right) + \tan^{-1}(\sin x-\cos x) + C$$ que parece haber implicado la sustitución $\sin x-\cos x=t$ . He intentado simplificar el denominador para que sea una función de $(\sin x-\cos x)$ pero no pude.

¿Podría explicar por qué mi método no ha funcionado y cómo debo proceder para obtener la respuesta dada?

Answer 1

Dejemos que $$I =\int\frac{\sin x+\cos x}{\cos^2 x+\sin^4 x}dx$$

Ahora podemos escribir $\cos^2 x+\sin^4 x = \sin^4 x-\sin^2 x+1 = \cos^4 x-\cos^2 x+1$

Así que $$I = \int\frac{\sin x}{\cos^4 x-\cos^2 x+1}dx+\int\frac{\cos x}{\sin^4 x-\sin^2 x+1}dx$$

Ahora pon $\cos x=t\;,$ Entonces $\sin xdx = -dt$ y poner $\sin x=u\;,$ Entonces $\cos dx = du$

Así que $$I = -\underbrace{\int\frac{1}{t^4-t^2+1}dt}_{J}+\underbrace{\int\frac{1}{u^4-u^2+1}du}_{K}$$

Ahora dejemos $$J = \int\frac{1}{t^4-t^2+1}dt = \frac{1}{2}\int\frac{(t^2+1)-(t^2-1)}{t^4-t^2+1}dt$$

Así que $$J =\frac{1}{2}\int\frac{t^2+1}{t^4-t^2+1}dt+\frac{1}{2}\int\frac{t^2-1}{t^4-t^2+1}dt$$

Así que $$J = \frac{1}{2}\int\frac{1+\frac{1}{t^2}}{\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+1}+\frac{1}{2}\int\frac{1-\frac{1}{t^2}}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2+3}dt$$

Así que obtenemos $$J = \tan^{-1}\left(\frac{t^2-1}{t}\right)+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{t^2-\sqrt{3}t+1}{t^2+\sqrt{3}t+1}\right|$$

El mismo cálculo para $J$

Así que obtenemos $$I = -\tan^{-1}\left(\frac{\cos^2 x-1}{\cos x}\right)-\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\cos^2 x-\sqrt{3}\cos x+1}{\cos^2 x+\sqrt{3}\cos x+1}\right|+\tan^{-1}\left(\frac{\sin^2 x-1}{\sin x}\right)+\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{\sin^2 x-\sqrt{3}\sin x+1}{\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x+1}\right|+\mathcal{C}$$

Answer 2

Si tuvieras, por ejemplo, $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\!,$ entonces su $I_1$ se convertiría en $\displaystyle\int_0^1$ mientras que $I_2$ se convertiría en $\displaystyle\int_1^0 = -\int_0^1$ y luego $I_1-I_2$ sería $\displaystyle\int_0^1 - \left(-\int_0^1\right) = 2\int_0^1.$

Pero no son integrales definidas. Una de ellas se convierte en $F(t) + C = F(\cos x)$ y el otro $-F(u) = -F(\sin x) + C$ , donde $F$ es el mismo en ambos casos. (Y $C$ en general no ser el mismo en ambos casos). Así que no se anulan entre sí aunque $F$ es el mismo en ambos casos.