Zev, sinceramente, creo que Thurston de la lengua fue implantado firmemente en su mejilla cuando escribió esto. Así que el punto clave es que una conexión en un vector paquete le da (a) un medio de la diferenciación de las secciones (la generalización de la derivada covariante de un colector de Riemann como una conexión en la tangente bundle) y (b) una noción de paralelismo (la generalización de la noción de transporte paralelo de los vectores de tangentes).
Como usted sugiere, el diferencial de $f\colon D\to\mathbb R$ le da un $1$-forma, por lo tanto, una sección de la cotangente del paquete de $T^*D$. Con el estándar de la estructura simpléctica en $T^*D$, Lagrange secciones (es decir, que tire la simpléctica $2$formulario $0$) son precisamente cerrado $1$-formas. [Este es tautológica: Si $q_i$ están las coordenadas de $D$ $1$- forma en $D$ está dado por $\omega = \sum p_i\,dq_i$ para algunas funciones $p_i$. Por definición, $d\omega = \sum dp_i\wedge dq_i$, y esto es (negativa) de la retirada de por la sección de $\omega$ de la norma de forma simpléctica $\sum dq_i\wedge dp_i$ (con coordenadas canónicas $(q_i,p_i)$$T^*D$).]
Ahora, una forma de conexión en un rango de $k$ vector paquete de $E\to M$ es un mapa de $\nabla\colon \Gamma(E)\to\Gamma(E\otimes T^*M)$ (es decir, un mapa de las secciones de un formulario valorado secciones) que satisface la regla de Leibniz $\nabla(gs) = dg\otimes s + g\nabla s$ para todas las secciones $s$ y las funciones de $g$. En general, se especifica que esta cubriendo $M$ con abrir conjuntos de $U$ más que $E$ es trivial y dando en cada una de las $U$ $\mathfrak{gl}(k)$valores $1$-forma, es decir, un $k\times k$ matriz de $1$-formas; cuando nos pegamento abrir conjuntos de estos matriz de valores de $1$-formas de transformar en cierta manera con el fin de unir a dar un bien definidas $\nabla$.
OK, así que Thurston toma el trivial de la línea de paquete de $D\times\mathbb R$. Una conexión se determina mediante la sección global $1$ y especificando $\nabla 1$ a un determinado $1$-forma en $D$. El plano estándar de conexión tomará $\nabla 1 = 0$ y, a continuación,$\nabla g = dg$. Ahora voy a tener que tomar algunas libertades con lo que Thurston dice, y tal vez alguien puede señalar lo que me estoy perdiendo. Supongamos ahora que nuestra función dada $f$ nada $0$$D$. Ahora podemos definir una conexión mediante la toma de $\nabla 1 = -df/f$. Entonces la derivada covariante de la sección dada por la función de $f=f\otimes 1$ [a la cual se refiere como la gráfica de $f$]$\nabla(f\otimes 1) = df - f(df/f) = 0$, por lo que esta sección es paralela.
Un poco menos de la lengua en la mejilla, el paralelismo es la generalización de la constante (en un vector paquete, no podemos decir en general, elementos de las diferentes fibras son iguales), y la derivada covariante $0$ es la generalización de $0$ derivados.
