Discusión sobre los números perfectos pares e impares.

Question

Primero de todo muchas gracias por responder a mi post anterior. Estos son algunos problemas interesantes extraídos de la Prof. Gandhi notas de la conferencia. amablemente discutir:

1) Si $n$ es incluso número perfecto, a continuación, $(8n +1)$ siempre es un cuadrado perfecto.

2) Cada número perfecto impar tiene al menos tres diferentes factores primos. Esto es a través de la observación podemos entender que. Pero, ¿cómo demostrar matemáticamente?

3) Cada número perfecto (otro de 6) puede ser expresable como la suma de impares consecutivos cubos.

Gracias de antemano.

Answer 1

$1.$ Por un teorema de Euler, cualquier número perfecto es de la forma $2^{p-1}(2^p-1)$ donde $p$ es primo. No necesitamos la primalidad parte. Multiplicar por $8$, añada $1$. Llegamos $2^{2p+2}-2(2^{p+1})+1$, que es el cuadrado de $2^{p+1}-1$.

$2.$ Nos muestran que un número perfecto impar no puede tener sólo $2$ distintos factores primos (no tratamos sólo con $1$ el primer factor, es más fácil).

Deje $N=p^aq^b$ donde $p$ $q$ son impares, números primos y $p\lt q$. Entonces la suma de los divisores de a $N$ es $$(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b).$$ Utilizando la fórmula ordinaria de la suma de una serie geométrica finita, esto puede escribirse como $$\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\cdot \frac{q^{b+1}-1}{q-1}.$$ Dividir por $N$. El resultado es $$\frac{p-\frac{1}{p^a}} {p-1}\cdot \frac{q-\frac{1}{q^b}} {q-1} .$$ Esto es menos que $$\frac{p}{p-1}\cdot \frac{q}{q-1}.\tag{$1$}$$ Nos muestran que el producto $(1)$ debe ser menor que $2$. En particular, el que se muestra el producto no puede ser $2$, lo $N$ es de hecho deficientes.

Es más fácil demostrar que la inversa de la Expresión $(1)$ es mayor que $\frac{1}{2}$. Esta reciprocidad es $$\left(1-\frac{1}{p}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{q}\right).$$

Pero $p\ge 3$$q\ge 5$. Por lo $1-\frac{1}{3}\ge \frac{2}{3}$$1-\frac{1}{q}\ge \frac{4}{5}$. De modo que su producto es $\ge \frac{8}{15}$, que es mayor que $\frac{1}{2}$.

No he pensado acerca de su Pregunta $3$.

Answer 2

Como se mencionó Andre, los números perfectos incluso tienen la forma $2^{p-1} (2^{p} -1 )$.

Reclamo: La suma de los primeros cubos impares $2^{(p-1)/2}$ es igual a este número perfecto.

Prueba: Sabemos que la suma de los primeros cubos impares de $n$ es:

$\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^3 = \sum_{i=1}^{2n} i^3 - \sum_{i=1}^{n} (2i)^3 \\= \left[ \frac {(2n)(2n+1)}{2} \right] ^2 - 8\left[ \frac {n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac {n^2 [16n^2 + 16n + 4 - 8(n^2 + 2n+1)]}{4}\\ = n^2(2n^2 - 1) $

Ahora sustituye $n = 2^{(p-1)/2}$.