Calculando…

Question

Definir $$I_n = \int_0^{\pi/2} (x \sin(x))^n dx$$ para $n \ge 0$.

Tengo que calcular el valor de$n = 0, 1$$2$. $$I_0 = \frac{\pi}{2}, I_1 = 1, I_2 = \frac{{\pi}^3 + 6 \pi}{48} .$$

En general, ¿cuál es el valor de $I_n$?

P. S.

Por WolframAlpha(

n = 3 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(x+sin(x))%5E3,+%7Bx,+0,+PI%2F2%7D%5D),

n = 4 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(x+sin(x))%5E4,+%7Bx,+0,+PI%2F2%7D%5D),

n = 5 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(x+sin(x))%5E5,+%7Bx,+0,+PI%2F2%7D%5D)

), $$I_3 = \frac{7{\pi}^2}{12} - \frac{122}{27},$$ $$I_4 = \frac{6{\pi}^5 + 170 {\pi}^3 -975 \pi}{2560},$$ $$I_5 = \frac{149{\pi}^4}{720} - \frac{31841{\pi}^2}{3375} + \frac{56992552}{759375}.$$

Answer 1

Posible pista, o al final de la historia.

$$\int_0^{\pi/2} x^n\sin^n(x)\ \text{d}x = \int_0^{\pi/2} x^n\ \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^n\ \text{d}x$$

Pero os advierto, no es un camino fácil. Usted tendrá que integrar por partes $n$ veces. Seguramente terminará con alguna función hipergeométrica infernal.

Síntesis: ninguna pista si realmente existe una forma muy general.

P.s. Expansión Binomial puede ser útil.