¿Cómo puedo expresar $\int_0^t \frac{{\rm e}^{-a^2 z}}{\sqrt{z} (z+v)} \,dz$ en términos de funciones con nombre?

Question

Recientemente se deriva una expresión para una determinada función de densidad de probabilidad. La expresión contiene la integral $$f(t,v,a) = \int_0^t \frac{{\rm e}^{-a^2 z}}{\sqrt{z} (z+v)} \,dz = 2a \int_0^{\sqrt{t}} \frac{{\rm e}^{-x^2}}{x^2+a^2 v} \,dx \;,$$ donde $t>0$, $v>0$ y $a \in \mathbb{R}$, y me gustaría volver a escribir en términos de funciones con nombre (tales como el error de las funciones exponencial y las integrales). Parece inocua, pero he probado todas integral de sustitución puedo pensar sin éxito. El Wolfram Mathematica en Línea Integrador no ayuda, ni tampoco Abramowitz Y Stegun libro bien conocido.

Yo estaba a punto de rendirse cuando me topé con el NIST Digital de la Biblioteca de Funciones Matemáticas, y en particular de la página http://dlmf.nist.gov/7.7 donde se dijo: `Las integrales del tipo $\int {\rm e}^{-z^2} R(z) \,dz$, donde $R(z)$ es arbitraria función racional, puede ser escrita en la forma cerrada en términos de las funciones de error y funciones elementales." Bien, ¿cómo puedo hacer esto?

Dos comentarios finales: la Diferenciación bajo el signo integral me llevó a $$f(t,v,a) = \frac{\pi}{\sqrt{v}} {\rm e}^{a^2 v} {\rm erfc} \left (\sqrt{v} \right) - \frac{4}{\sqrt{v}} {\rm e}^{a^2 v} \int_ {\sqrt{v}}^\infty \int_{\frac{\sqrt{t} q}{\sqrt{v}}}^\infty {\rm e}^{-p^2} {\rm e}^{-p^2} \,dp \,dq \;,$$ pero esto no parece ser útil. Puedo evaluar la integral en el caso especial $t=v$: $$f(v,v,a) = \frac{\pi}{2 \sqrt{v}} {\rm e}^{a^2 v} \left( 1 - \left( {\rm fer} \left (\sqrt{v} \right) \right)^2 \right) \;,$$ pero esto no parece útil.

Answer 1

$\int_0^t\dfrac{e^{-a^2z}}{\sqrt{z}(z+v)}dz$

$=\int_0^1\dfrac{e^{-a^2tz}}{\sqrt{tz}(tz+v)}d(tz)$

$=\dfrac{\sqrt{t}}{v}\int_0^1\dfrac{e^{-a^2tz}}{\sqrt{z}\left(1+\dfrac{tz}{v}\right)}dz$

$=\dfrac{2\sqrt{t}}{v}\Phi_1\left(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2};-\dfrac{t}{v},-a^2t\right)$ (de acuerdo a Sobre el confluente versiones de Appell Función Hipergeométrica y Lauricella Funciones)