Pregunté a una casi la misma pregunta de antes y es resuelto por considerar adyacentes $Z_n$ no puede estar muy lejos y obtener una contradicción. Sin embargo, si el entorno es alterado un poco, me pregunto si es cierto.
Supongamos $D$ es un delimitada, conectado, abra subconjunto de $\mathbb{R}^2$ con límite de $\partial D$.
Considere una cadena de Markov $\{Z_n\}_{n\geq 0}$ $D$ que evoluciona de la siguiente manera: para cada una de las $n\geq 0$, condicionado a $\sigma(Z_k)_{k\leq n}$, la variable aleatoria $Z_{n+1}$ es distribuido uniformemente en el disco de radio $R_n$ centrada en $Z_n$ donde $2R_n$ es la distancia de$Z_n$$\partial D$.
Demostrar que $$Z_n \rightarrow Z_{\infty} \;a.s., Z_{\infty}\in \partial D. $$
No es demasiado difícil ver que las coordenadas de a $Z_n$ son acotados (como $D$ es). También es fácil ver que las coordenadas de a $Z_n$ son de martingala. A continuación, por el acotamiento de las coordenadas y la martingala teorema de convergencia, sabemos que $Z_n$ de hecho se convierte para algunos $Z_{\infty}$.
Pero, ¿cómo mostrar $Z_\infty\in \partial D$? Yo no soy capaz de producir una contradicción a $Z_\infty \in D$ con probabilidad positiva.
Hice una simulación en $\mathbb{R}^2$ $D$ ser un disco y parece cierto que $Z_n$ llegará al límite por último.
