Extensión de campo con grupo de Galois de diedro

Question

En un antiguo examen de mi clase de Teoría de Galois es el siguiente cuestión que me preocupa:

Deje $p \neq 2$ ser un primer número y $k \geq 1$ un entero. Dar un ejemplo de una extensión de galois $L/K$ tal que $Gal(L/K) = D_{2p^k}$$[K:\mathbb{Q}]<+\infty$.

Mi idea era la de considerar el $p^k$-th raíces de la unidad en la que $D_{2p^k}$ actos y, a continuación, tome $L=\mathbb{Q}(\mu _{p^k})$ $K=\mathbb{Q}(\mu _{p^k})^{D_{2p^k}}$ que por (lo que hemos llamado en clase) del teorema de Artin nos daría $Gal(L/K) = D_{2p^k}$.

Lo que me preocupa es que me quiero detener aquí y decir que estoy haciendo, pero yo no uso el $p^k,p\neq2$ condiciones (lo que hice yo iba a trabajar todos de la misma con $D_{2n}$ todos los $n$) así que me siento que tengo muy probablemente cometió un error.

Answer 1

$\mathbb{Q}(\mu _{p^k})$ es un abelian extensión de $\mathbb{Q}$, es decir, Galois con abelian Galois grupo isomorfo a $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$, por lo que no hay diedro grupos para encontrarse allí.

Pero la idea básica es correcta: incrustar $D_{2p^k}$ en algunos otros finito grupo que sabe cómo darse cuenta de como un grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$, y luego darse cuenta de este grande grupo de Galois y tome $K$ a ser el campo fijo de $D_{2p^k}$. Por ejemplo, cada grupo finito puede ser incrustado dentro de un adecuado grupo simétrico.

Editar: Si quieres una descripción explícita, incrustar $D_{2p^k}$ a $C_{p^k}\rtimes (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times$, que es el grupo de Galois de un polinomio de la forma $x^{p^k}-a$ donde $a\in \mathbb{Z}$ $p$- libre de energía. A continuación, será capaz de describir $K$ $L$ absolutamente explícitamente.

Bonus: el que realmente se puede demostrar que cualquier $D_{2p^k}$ puede ser comprendido como un grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$. Hay varias maneras de hacer esto, todos ellos requieren mucho más de la maquinaria que usted esperaría en un examen de licenciatura. Pero la idea básica es tomar un cuadrática campo (vamos a decir realmente imaginario cuadrática) y, a continuación, producir un abelian extensión en la parte superior de que con cíclico grupo de Galois de la orden de $p^k$, de tal manera que esta extensión resulta ser Galois sobre $\mathbb{Q}$ con diedro grupo de Galois. Dichas extensiones son ampliamente estudiado en la teoría de Iwasawa.