Error en la argumentación sobre el teorema de Cayley Hamilton

Question

No puedo detectar el error en el siguiente argumento sobre el teorema de Cayley Hamilton:

Dejemos que $A\in M_n$ Entonces,

$$\begin{align*} P_A(t)&=\det(tI-A)\\ &\implies P_A(A)=\det(AI-A)\\ &\implies P_A(A)=\det(0)\\ &\implies P_A(A)=0 \end{align*}$$

Answer 1

Me limitaré a detallar el comentario de Nick Strehlke en el caso $n=2$ : $$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix},$$ $$M(t):=tI-A=\begin{pmatrix}t-a&-b\\-c&t-d\end{pmatrix},$$ $$M(A)=\begin{pmatrix}A-aI&-bI\\-cI&A-dI\end{pmatrix}.$$ El Cayley-Hamilton establece que el determinante de la anterior matriz de dos por dos (cuyos coeficientes son matrices de dos por dos) es el $0$ matriz de dos por dos (con coeficientes escalares).

En general, si $A$ está en $\mathbf M_n(K)$ entonces $M(A)$ está en $\mathbf M_n(K[A])$ y su determinante está en $K[A]$ . [La notación es, espero, autoexplicativa].

EDITAR. Muchas gracias a darij grinberg por haber señalado un error (especialmente desafortunado en una respuesta que se supone que corrige un error...). Para que el comentario de darij siga siendo comprensible, aquí está la versión no corregida de la frase errónea:

"... si $A$ está en $\mathbf M_n(K)$ entonces $M(A)$ está en $\mathbf M_n(\mathbf M_n(K))$ y su determinante está en $\mathbf M_n(K)$ ."

Answer 2

En el primer paso, se obtiene el polinomio característico $P_A(t)$ que se obtiene calculando el determinante, det $(tI-A)$ . Y entonces, la siguiente implicación es el error de que un polinomio multivariado obtenido de la entradas escalares de la matriz $A$ puede escribirse como det $AI-A$ . La razón es simplemente porque el teorema de Cayley-Hamilton utiliza dos tipos de polinomios diferentes pero con los mismos coeficientes escalares. Uno es $$ P_A(t) = t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t + a_0 = 0 \in\mathbb{R} $$ El otro es $$ A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_1A + a_0I = \mathbf{0} \in\mathbb{R}^{n\times n} $$ Por lo tanto, no son compatibles.

Me detendré antes de mencionar la palabra anillo :)