Para qué valores de m son las raíces de $x^2 +2x+3 = m(2x+1)$ real y positivo

Question

Sólo soy capaz de mostrar que para ser real, $m <-1$ o $m\geq2$ no sé cómo terminar solución respuesta es $2 \leq m < 3$

Hasta el momento:

Expansión y factorización,

$x^2 + 2(1-m)x + (3-m) = 0 $

Las raíces son reales si discriminante $\ge 0 $

i.e. $4(m-2)(m+1)>=0 $

Por lo tanto $m ≤ -1 \text{ or } m \ge 2$ para raíces reales

Sin embargo no sé cómo encontrar m para raíces positivas

Answer 1

Para que la ecuación de raíces positivas y reales, dos condiciones adicionales son necesarios $$2m-2>0$$ $$3-m>0$ $ $$\therefore 1<m<3$ $ tomando la intersección de los intervalos de encontrado, nos pondremos $$\therefore 2 \leq m <3$ $ :)

Answer 2

Aviso de la ecuación es el mismo que $$x^2 + x(2 - 2m) + (3 -m) = 0$$

Ahora, por la ecuación de segundo grado, los puntos donde la parábola es igual a cero, significa que los ceros de las ecuaciones son:

$$ x = \frac{2m - 2 \pm \sqrt{4 - 8m + 4m^2 -12 +4m}}{2} $$

Sólo necesitamos la atención sobre el factor determinante $\Delta(m) = 4m^2 -4m - 8$. Usted puede ver esta ecuación geométrica o algebraica, cualquiera que se adapte a sus gustos. Pero El determinante tiene las siguientes propiedades: Si el $\Delta$ de un quadration ecuación iz $0$, entonces se obtiene la solución única. si $\Delta < 0 $, luego tenemos ninguna solución real. Si $\Delta > 0$, luego tenemos 2 soluciones. Utilizar esta información para resolver su problema.

SUGERENCIA: Gráfico de $\Delta(m) = 4m^2 -4m - 8$

Answer 3

Denotando el discriminante por $D(m) := 4(m+1)(m-2)$, tenemos para la raíces $$ x_{1,2} = (m-1) \pm \sqrt{D(m)} $ $ como usted dice correctamente, las raíces son reales $D(m) \ge 0$. Y las raíces son ambos positivos si $0 \le \sqrt{D(m)} \le m-1$, que $m \ge 1$ y $D(m) \le (m-1)^2$ deben tener. Ahora trate de resolver la desigualdad pasada $m$.

Answer 4

$x^2 +2x+3 = m(2x+1)$

$x^2 +2(1-m)x+3-m = 0$

$D=b^2-4ac$

$D=4(1-m)^2-4(3-m)$

$D=4(1+m^2-2m)-12+4m$

$D=4+4m^2-8m)-12+4m$

$D=4m^2-4m-8$

$D \geq 0$, Usted encontrará las raíces reales

las raíces son reales para $m ≤ -1 \text{ or } m \ge 2$---(1)

$ x = (m-1) \pm \sqrt{m^2-m-2} $

las raíces son positivas si $(m-1)>\sqrt{m^2-m-2}$

$m<3$\begin{equation} x + y + z = n \end----------(2)

Combinando (1) y (2) condición, obtenemos

las raíces son reales y positivo si $ 2 \leq m<3$