Preliminar problema pide demostrar que si $X$ es un espacio métrico compacto, y $f:X \to X$ es una isometría (distancia-preservar el mapa), a continuación, $f$ es surjective. La prueba oficial usados secuencias/convergente subsecuencias y no apela a mi intuición. Cuando vi el problema, mi instinto inmediato fue que una isometría debe ser "volumen-preservación", por lo que el volumen de $f(X)$ debe ser igual al volumen de $X$, lo que significa que surjectivity si $X$ es compacto. La noción de "volumen" que se me ocurrió fue el número mínimo de $\epsilon$-bolas necesaria para cubrir las $X$ por $\epsilon > 0$. Si $f$ no surjective, entonces, por $f$ es continua, esto significa que no debe ser un punto de $y \in X$$\delta > 0$, de modo que el balón $B_\delta(y)$ es disjunta de a $f(X)$. Quería elegir a $\epsilon$ en términos de $\delta$ y utilice el hecho de que una isometría lleva $\epsilon$-pelotas a $\epsilon$-bolas, y demostrar que, dado un tamaño mínimo de la cubierta de $X$ $\epsilon$ bolas, que una cubierta de $X$ $\epsilon$- bolas pueden encontrarse con uno menos bola si $f(X) \cap B_\delta(y) = \emptyset$, dando una contradicción. Alguien puede ver una manera de hacer este trabajo de intuición?
Respuesta
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Esa es una buena idea para una prueba. Creo que tal vez funciona bien para convertirlo en el interior, por así decirlo:
Lema. Asumiendo $X$ es un espacio métrico compacto, para cada una de las $\delta>0$ hay un número finito de límite superior para el número de puntos en $X$ con pares distancia $\ge\delta$. (Llamemos a este conjunto de puntos de $\delta$separados.)
Prueba. $X$ es totalmente acotado, entonces existe un conjunto finito $N$ de los puntos en $X$, de modo que todos los $x\in X$ está más cerca de lo que $\delta/2$ a algún miembro de $N$. Cualquiera de los dos puntos en $B_{\delta/2}(x)$ están más cerca que $\delta$, por lo que no puede ser un $\delta$separados conjunto con más miembros de $N$.
Ahora vamos a $f\colon X\to X$ ser una isometría y no en. Deje $x\in X\setminus f(X)$, y deje $\delta>0$ ser la distancia de$x$$f(X)$. Deje $E\subseteq X$ $\delta$separados conjunto con el mayor número posible de miembros. A continuación, $f(E)\cup\{x\}$ es un conjunto con más miembros. Contradicción.
