¿Como el título indica, nadie podría esbozar algunas de las diferentes maneras de ver cómo el grupo $\text{SL}(2, \mathbb{R})$ no es simplemente conexa?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La forma estándar es demostrar que $SO(2) \hookrightarrow SL_2(\Bbb R)$ es un homotopy de equivalencia. Creo Que De Gram-Schmidt. Esto ha sido detallado en otro lugar un montón de veces, así que no voy a entrar aquí.
Aquí está una leve prueba geométrica. $SL_2(\Bbb R)$ actúa en $\Bbb H$, considera que a través de la unidad de disco modelo, por la orientación de la preservación de isometrías; los únicos elementos que actúan trivialmente se $\pm I$, dando lugar a una acción de $PSL_2(\Bbb R) = SL_2(\Bbb R)/\pm I$.. En particular se obtiene una acción de $PSL_2(\Bbb R)$ sobre su ideal de límite, $S^1$. Hay una natural mapa de $f: PSL_2(\Bbb R) \to S^1$, dado por $\phi \mapsto \phi(x)$ donde $x$ es elegido un punto de base. Hay una copia de $S^1$ dentro $PSL_2(\Bbb R)$ de manera tal que este mapa es un isomorfismo (rotaciones del plano hiperbólico). El bucle esto representa en $PSL_2(\Bbb R)$ no puede ser null-homotópica, por que si fue, para luego componer el null-homotopy con $f$ daría un null-homotopy de la identidad de mapa de $S^1 \to S^1$; de hecho, el mismo argumento muestra que se debe tener infinitas orden en $\pi_1(PSL_2(\Bbb R))$. En la plaza se levanta a $SL_2(\Bbb R)$, donde también debe tener la infinita orden. Así llegamos a la conclusión.
Alternativamente, tenga en cuenta que $PSL_2(\Bbb R)$ actúa transitivamente y libremente en la unidad de la tangente bundle $T^1\Bbb H \cong S^1 \times \Bbb H$. La única cubierta doble de este, es, por supuesto, también homeomórficos a $S^1 \times \Bbb H$. Así que la conclusión.
PVAL
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El espacio homogéneo $GL_2^+(\Bbb R)/SO(2)$ (donde $GL_2^+(\Bbb R)$ es el componente conectado de la identidad de $GL_2(\Bbb R)$) puede ser identificado en el espacio de las simétrica positiva definida interior de los productos de $Riem$ $\Bbb R^2$ donde el mapa $GL_2^+(\Bbb R) \to Riem$ donde $A \mapsto g_A$ tenemos $g_A(v,w)=g_{std}(Av,Aw)$ donde $g_{std}$ es la norma interna del producto en $\Bbb R^2$ (es, por definición, que el estabilizador de la norma interna del producto es $SO(2)$). Desde $Riem$ es claramente convexo, tenemos $Riem$ es contráctiles (y, obviamente, paracompact y Hausdorff), de ahí el mapa de $SO(2) \to GL_2^+(\Bbb R)$ es un homotopy de equivalencia.
Para mostrar $GL_2^+(\Bbb R)$ deformación se retrae en $SL_2(\Bbb R)$ considere la siguiente deformación de retracción
$$H(t,A)= \frac1{(1-t)+t(det(A))}A$$
