Cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es la Unión de una colección a lo más contable de segmentos separados

Question

Que $E$ ser una abierta en $\mathbb{R}$. Fijar $x\in E$.

He probado que la declaración es verdadera cuando $\{y\in \mathbb{R}|(x,y)\subset E\}$ está limitado arriba y $\{z\in \mathbb{R}|(z,x)\subset E\}$ está delimitado por debajo.

Si al menos uno de los de arriba no se limita, $E$ debe ser igual a uno

1.$\mathbb{R}$

2.$\{r\in \mathbb{R}|r<k\}$for un $k\in \mathbb{R}$

3.$\{r\in \mathbb{R}|k<r\}$for un $k\in \mathbb{R}$

¿Son que estos conjuntos pueden ser la Unión de una colección a lo más contable de disjuntos 'segmentos'?

Answer 1

No sé qué argumento que utilizó, pero esta es la más sencilla que conozco.

Deje $U$ ser un no-vacío abierto subconjunto de $\Bbb R$. Definir una relación $\sim$ $U$ como sigue: $x,y\in U$, $x\sim y$ iff bien $x\le y$ $[x,y]\subseteq U$ o$y\le x$$[y,x]\subseteq U$. No es difícil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Para $x\in U$ denotar por $U(x)$ $\sim$- clase de equivalencia de a $x$. A continuación, $U(x)$ es de orden-convexo y abierta en $\Bbb R$.

1. $U(x)$ es de orden-convexo. Supongamos que $y,z\in U(x)$$y<z$. Si $x\le y$,$[y,z]\subseteq[x,z]\subseteq U(x)$. Si $z\le x$,$[y,z]\subseteq[y,x]\subseteq U(x)$. Y si $y<x<z$,$[y,z]=[y,x]\cup[x,z]\subseteq U(x)$.

2. $U(x)$ está abierto. Supongamos que $y\in U(x)$. Supongamos que $x<y$. $U$ es abierto, por lo que hay $u,v\in\Bbb R$ tal que $y\in(u,v)\subseteq U$. Deje $w\in (y,v)$ ser arbitraria. A continuación,$[x,v]=[x,y]\cup[y,w]\subseteq U(x)$, lo $y\in(x,w)\subseteq U(x)$. El caso de $y<x$ es totalmente similar, y en el caso de $y=x$ es trivial.

Por lo tanto, $\{U(x):x\in U\}$ es una partición de a $U$ en orden-convexo abierto conjuntos. Ya que cada uno debe contener los números racionales, sólo hay countably muchos de estos conjuntos.

Tenga en cuenta que el resultado se produce un error si usted insiste en tener delimitada abrir intervalos. Si $(a,b)$ es uno de los intervalos en la descomposición de la $U$, ningún otro intervalo de tiempo puede contener cualquiera de las $a$ o $b$. Por lo tanto, si $U$ contiene un abierto ray, $U$ no puede ser descompuesto en sus pares distintos delimitada abrir intervalos.

Answer 2

Deje $E$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que E es no vacío. Considere la posibilidad de un número real $x \in E$. En el contexto de este problema, un segmento de $(a_1,b_1)$ significa que el conjunto de todos los $p \in \mathbb{R}$ tal que $a_1 \lt p \lt b_1$. $ $Deje $y = inf \lbrace a \in E \mid (a,x) \subseteq E \rbrace$$w = sup \lbrace a \in E \mid (x,a) \subseteq E \rbrace$. A continuación, $E$ es la unión de todos los segmentos de $(y,w)$ para todos los puntos de $x \in E$. Desde cada uno de estos segmentos está abierto, queda por demostrar que son en la mayoría de los contables. En primer lugar, tenga en cuenta que los racionales son conocidos por ser denso en los reales. También, los racionales son numerables conjunto. Por lo tanto, vamos a $\lbrace r_n \rbrace$ ser un orden de los números racionales. Ahora el orden de los segmentos de $(y,w)$ tal que $(y_1,w_1)$ precede $(y_2,w_2)$ si y sólo si al menos $i$ tal que $r_i \in (y_1,w_1)$ es menor que el mínimo de $j$ tal que $r_j \in (y_2,w_2)$. $r_i$ y $r_j$ existen debido a que los racionales son densos. Este es un pedido de la segements cuya unión es $E$, mostrando que los segmentos son en la mayoría de los contables.

Answer 3

Elija cualquier abierto conjunto $U \subset \mathbb{R} = \bigcup \limits_{s \in S} s$ $S$ Dónde está un conjunto de segmentos separados. Como denso en $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$, todos los segmentos de $\mathbb{R}$ contienen un $q \in \mathbb{Q}$. Esto conduce a una inyección de $S$ $\mathbb{Q}$ que sigue que $S$ es contable.