¿Por qué converger $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{ 1}{ n^2 \log (n) }$?

Question

Lo que veo se puede comparar

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1}{ n^2 \log (n) } < 1/n$$

$1/n$ es una serie $p$ que $p = 1 \leq 1 $

Así $1/n$ diverge.

Así $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{ 1}{ n^2 \log (n) }$ diverge.

Answer 1

As $\ln(n) > 1$ for $n > e$, $\frac{1}{n^2 \ln(n)} < \frac{1}{n^2}$. El último se sabe que convergen.

Answer 2

Use la prueba Integral para convergencia: desde $\frac d{dt}\text{Ei}(-\log t)=\frac d{dt}\text{li}(\frac1t)=\frac1{t^2\log(t)}$, obtenemos $$\begin{eqnarray} \int\limits_2^\infty \frac1{n^2\log(n)}dn&=&\text{Ei}(-\log n)\Biggr|_{2}^\infty&<&\infty\\&=&\underbrace{\text{Ei}(-\log \infty)}_{=0}-\text{Ei}(-\log 2)\\ &=&-\text{li}(\frac12)\\ &=&-\int_{0}^{1/2}\frac{dn}{\ln n}&&\hskip0.7in (*) \\ &=&0.378\dots&<&\infty \end{eqnarray} $$ la suma converge: $(*)$ es finito, desde $\underbrace{\text{li}(1)}_{-\infty}<\int_{0}^{1/2}\frac{dn}{\ln n}< \underbrace{\text{li}(0)}_{=0}$ y $0<\frac12<1.$