¿Qué es una explicación intuitiva para ¿por qué eliminación conserva la solución del sistema original de ecuaciones?

Question

He estudiado álgebra lineal antes, sin embargo, yo quería volver a los fundamentos y a entender de nuevo desde el principio.

Yo estaba buscando el siguiente inofensivo ecuaciones lineales:

$$ x - 2y = 1 $$ $$ 3x + 2y = 11 $$

y después de la eliminación de una cuenta:

$$ x - 2y = 1 $$ $$ 8y = 8 $$

el reclamo es que ambos sistemas de ecuaciones tienen la misma solución. Geométricamente:

si nunca has visto esto antes de que casi parece magia! Hemos conseguido combinar diferentes ecuaciones y todavía retener que las soluciones que se conserva. Las nuevas ecuaciones parece ser completamente diferente y las líneas que nos interesan no tienen ni siquiera el mismo gradientes. Básicamente, a primera vista, el problema parece que cambió de manera dramática!

Así que aunque el sistema parece haber cambiado mucho, en realidad, no ha cambiado mucho ya que se intersecan en un mismo punto.

Mi pregunta es, ¿qué es la intuición de por qué la manipulación del sistema de ecuaciones de esta forma y la combinación de ellos conserva la solución original.

La intuición, la justificación que yo solía pensar era que, si combinamos las ecuaciones, en principio, el "total" de la información que teníamos en el inicio del sistema se conserva siempre estamos combinando las diferentes ecuaciones y no descartamos uno cualquiera de ellos. Básicamente, la combinación de dos ecuaciones implícitamente retiene la información que teníamos sobre la vieja ecuación. Sin embargo, podemos se "olvidan" de la vieja forma de la nueva ecuación debido a que la información se conserva aunque la ecuación cambió. es decir, su ok para combinar la ecuación 1 y 2 forma 2' y descartar 2, ya que 2' Y 1 contiene toda la información del sistema original.

Esta es una especie de intuición que yo uso, pero no estaba seguro de si eso era una buena manera de pensar acerca de ello o si quizás la gente tenía mejor sentido o justificación de por qué la eliminación trabajado.

Answer 1

Será probablemente ser probado mal por otra respuesta, pero no creo que se puede obtener una explicación geométrica. Algebraico, la situación es muy clara: tienes un sistema $Ax=b$, y cuando se realiza una reducción de la fila, se multiplican a la izquierda por una matriz inversible (elemental). Así que el sistema se convierte en $EAx=Eb$, con la misma solución. Multiplicar por una matriz inversible no tiene una fácil interpretación geométrica, lo que puedo decir.

Answer 2

Sólo hay una eliminación de la regla: si puedo realizar una operación en dos ejemplares del mismo número, ambas copias cambio en la misma forma.

Si $x-2y=1$$3x-6y=3$. He cambiado nada. Simplemente he notado que si me multiplicar $1$ $3$ I get $3$.

Si yo ahora resta $3x-6y=3$ $3x+2y=11$ sólo estoy restando $3$ $11$ que me da $8y=8$. Si yo ahora divide $8$ $8$ I get $y=1$.

En todos los casos se me acaba de hacer la misma cosa para el mismo número escrito en dos formas diferentes.

Answer 3

Supongamos que alguien le da un par de líneas distintas en el plano, ni horizontal ni vertical, y que se intersecan en un punto de $O$. Para encontrar las coordenadas Cartesianas de $O$, se puede girar una línea hasta que fue horizontal, a continuación, gire la otra línea hasta que fue vertical. Usted puede leer a continuación las coordenadas mediante la comprobación de que el girado líneas de golpear a los ejes de coordenadas.

Rotación de una línea horizontal, significa que has eliminado $x$ a partir de su ecuación; rotación de una línea vertical, significa que ha eliminado $y$. Quizás lo sorprendente es que la primaria fila eficazmente las operaciones girar líneas.

Para hacer esta álgebra a la geometría diccionario de manera más precisa, escribir las líneas originales como \begin{align*} a_{1}x + b_{1}y + c_{1} &= 0, \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2} &= 0. \\ \end{align*} Ver cada lado de la mano izquierda como el valor de una función de dos variables cuya gráfica es un avión.

La multiplicación de una ecuación por un no-cero escalar "gira" el correspondiente plano en el espacio sobre su ajuste a cero, pero no cambia el ajuste a cero.

La fijación de una ecuación y restando un valor distinto de cero escalares de varias de las otras cantidades a los planos que se intersectan, entonces la proyección de la línea de intersección de la $(x, y)$-avión; como el escalar varios cambios, (la sombra) de la línea de intersección gira alrededor de $O$. Si la inclinación de los planos apenas a la derecha, la proyección de la línea de intersección es paralelo a un eje de coordenadas.

Answer 4

Así que aunque el sistema parece haber cambiado mucho, en realidad, no cambio mucho ya que se intersecan en un mismo punto.

Mi pregunta es, ¿qué es la intuición de por qué la manipulación del sistema de las ecuaciones de esta forma y la combinación de ellas conserva el original solución.

La razón por la que el espacio de la solución se mantiene el mismo es algebraico en la naturaleza:

Como se muestra en sus imágenes, en cada fila se define un afín hyperplane (un plano afín de dimensión $n-1$): $$ a_i^\x superior = \beta_i $$ donde el vector $a_i$ es un vector normal a la hyperplane.

De la escuela primaria, escalamientos de una fila no cambiar los puntos de $x$ de la hyperplane, sólo (la duración) del vector normal, que es normal, y la inhomogenity para compensar: \begin{align} a_i^\top x = \beta_i \iff \\ s a_i^\top x = s \beta \iff \\ {a'}_i^\top x = {\beta'}_i \end{align} La adición de un múltiplo de un hyperplane a otro da $$ \beta_i = \alpha_i^\top x \a \quad (*) \\ \beta_i + s \beta_j = \alpha_i^\x superior + s \alpha_j^\x superior = (\alpha_i + s \alpha_j)^\x superior \ffi \\ (\beta')_i = (\alpha')_j^\x superior \quad (**) $$ Independiente de esto puede ser un nuevo hyperplane, con un nuevo conjunto de puntos de $x$. Sin embargo, para un $x$ de la común de intersección, esto significa que todavía $\alpha_j^\top x = \beta_j$ mantiene, por lo que puede volver volver a la ecuación de $(*)$$(**)$. Así $$ \alpha_i^\x superior = \beta_i \wedge \alpha_j^\x superior = \beta_j $$ tiene las mismas soluciones, como $$ \alpha_i^\x superior + s \alpha_j^\top =\beta_i + s \beta_j \wedge \alpha_j^\x superior = \beta_j $$ El geométrica consecuencia es que el hyperplanes $(*)$ $(**)$ tienen puntos de $x$ en común, para que $\alpha_j^\top x = \beta_j$, lo que son al menos un $n-2$ dimensiones subespacio afín. Para $n=2$ esto significa que se alojen en el mismo o rotación alrededor del punto de intersección. Para $n=3$ esto significa que se alojen en el mismo o de rotación alrededor de la intersección de la línea.

OK, así que podemos hacer afín rotaciones sin cambiar el espacio de la solución. Sin embargo no lo hacemos al azar, sino que tienen una estrategia que permite leer las soluciones a partir de los parámetros $\alpha$$\beta$:

El objetivo de la eliminación es conseguir una fila de forma escalonada. Fila por fila más dependencias de las variables se eliminan.

(Versión Grande)

En la imagen de la $x$-de la dependencia de su segunda línea se ha eliminado, sólo depende de $y$, que ya es la última variable, resulta constante. Se trata de una afín a la rotación.

Como ahora tenemos la $y$-dependencia en la segunda fila, se podría eliminar de la primera fila, manteniendo sólo el $x$-dependencia allí: $$ \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 8 & 8 \end{array} \right] \a \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \a \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $$ La matriz está ahora en la reducción escalonada.

(Versión grande)

Nos hemos alineado cada línea paralela a uno de los ejes de coordenadas. En las dimensiones superiores similar alineación sucede. Podemos leer directamente fija las coordenadas de las soluciones de esta forma.

Además, podemos hacer declaraciones sobre la dimensión del espacio de la solución:

Si el escalonada ha $k$ filas vacías, es claro que la intersección de a $n-k$ hyperplanes resulta no ser cero dimensional (un punto, una única solución), pero es que algunos en el mejor de los $k$ dimensiones subespacio afín, si todos los hyperplanes se cruzan no idénticos. Si no tienen un común de intersección, no hay solución.