El problema del cumpleaños

Question

He estado leyendo sobre el problema del cumpleaños que, como estoy seguro que muchos de ustedes sabrán, es un problema estadístico que tiene como objetivo la búsqueda de la cuánta gente lo que se necesita en un grupo aleatorio para tener la certeza de que dos de ellos comparten un cumpleaños. He leído el artículo de la wikipedia y estoy feliz con el concepto y las respuestas a este problema. Lo que me interesa hacer es ampliar el principio. He estado tratando de averiguar la respuesta a un problema similar, pero en el que simplemente quería saber la probabilidad de que dos personas habían nacido en la misma semana y en el mismo mes. No estoy realmente seguro de cómo ir sobre esto, aunque, así que mi primera pregunta es: ¿hay una ecuación general que puede utilizar para extender el problema para estos casos? Pero, sé que hay muchos artículos y stackexchange preguntas sobre esto, así que no me pregunte a menos que yo tenía un problema específico, que es este:

Supongamos que una persona ha cumplido con 500 personas en su vida. ¿Cuál es la probabilidad de que siete de los 500 compartir un cumpleaños en el mismo período de dos meses?

Creo que la respuesta a mi última pregunta es que es cierto. Pero puedo preguntar cuál es el menor número de personas que usted necesita para la probabilidad de que en un grupo de 500 personas - la probabilidad de compartir un cumpleaños en un período de dos meses es menor que el 50%? Si que tiene sentido?

Bueno, gracias a todos, editado para poner en orden:

Pregunta 1: ¿Cuál es el grupo más pequeño de personas seleccionadas aleatoriamente se requiere que la probabilidad de que dos de ellos comparten un cumpleaños dentro de una semana de uno a otro es de al menos 75%?

Pregunta 2: ¿Cuál es el grupo más pequeño de personas seleccionadas aleatoriamente se requiere que la probabilidad de que dos de ellos comparten un cumpleaños dentro de los treinta días de cada una es de al menos 75%?

Pregunta 3: ¿Cuál es el grupo más pequeño de personas seleccionadas aleatoriamente se requiere que la probabilidad de que siete de ellos comparten un cumpleaños dentro de los sesenta días de cada una es de al menos 75%?

Pregunta 4: En un grupo de 30 personas seleccionadas aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que siete de ellos van a compartir un cumpleaños con cincuenta días?

Espero que de una forma mucho más clara. Yo no tenía idea de cómo redactar estas preguntas hasta que he publicado esto y estoy agradecido a todos los que contribuyeron para ayudarme a hacerlo :)

Answer 1

Según lo sugerido por Henry, las preguntas 1 y 2 son respondidas por una generalización de la Wikipedia da por el problema del cumpleaños, para los cuasiaccidentes. Tomar $m=365$, $k=7$ o $k=30$ respectivamente, y determine el menor $n$ donde $$p(n,k,m)=1-\frac{(m-nk-1)!}{m^{n-1}(m-n(k+1))!}$$ is greater than $0.75$.

Si se quiere contar 7 personas que comparten el mismo cumpleaños, no es otra generalización que es relevante, por múltiples colisiones.

Sin embargo, las preguntas 3 y 4 son la combinación de ambas generalizaciones, pidiendo una "múltiples cerca de perder". Esto parece bastante difícil, y no sé si se ha resuelto exactamente en general.

Answer 2

Puede que necesite tener más cuidado con su redacción.

"Para estar seguro de que dos de ellos comparten un cumpleaños" necesita $367$ personas (o $366$ si usted ignora el 29 de febrero) por el principio de pigeon-hole

Desde $\frac{500}{6} \gt 83$, usted puede estar seguro de que al menos $84$ $500$ tienen cumpleaños dentro de un período de dos meses, que es algo más de siete.

No estoy seguro de lo que está pidiendo a su última pregunta.