Encontrar al Nash equilibria para un proyecto conjunto que se modela como un juego estratégico

Question

Actualmente estoy trabajando en la Introducción a la teoría del Juego libro de Martin J Osborne y estoy buscando para resolver esta pregunta:

Dos personas están participando en un proyecto conjunto. Si cada persona $i$ pone en el esfuerzo de $x_i$, un número no negativo igual que en la mayoría de las $1$, lo que los costos de su $c(x_i)$, el resultado del proyecto es digno de $f(x_1, x_2)$. El valor de la el proyecto se divide por igual entre las dos personas, independientemente de sus niveles de esfuerzo. Formular esta situación como un juego estratégico. Encuentre los equilibrios de Nash del juego al $$f(x_1, x_2) = 4x_1x_2$$ y $c(x_i) = x_i$$i = 1, 2$.

Como tal, el enfoque general para este problema sería tomar el pago de la función, que en nuestro caso es $f$ y se diferencian con respecto a $x_1$. Equiparar eso a $0$ y resolver para $x_1$ hacer una mejor función de la respuesta de $x_1$. El mismo se haría para el $x_2$ variable y, a continuación, tendríamos dos ecuaciones, a saber, las mejores funciones de respuesta para ambos $x_1$$x_2$. Podemos entonces resolver estas ecuaciones y obtener los Equilibrios de Nash. El problema que estoy teniendo es cuando podemos diferenciar $f(x_1,x_2)$ con respecto a decir $x_1$ tenemos $f' = 4x_2$ cuando comparamos este a $0$ tenemos $0 = 4x_2$ que en realidad no ayuda mucho en resolver el problema... En esta etapa realmente no estoy seguro de cómo ir sobre la resolución de este...

Aquí está una foto de la supuesta solución:

Answer 1

La estrategia del jugador I es para elegir cualquiera de los $x \in [0,1]$. En primer lugar, vamos a determinar la mejor respuesta de la función de reproductor de I. eligiendo $x_1$ jugador que paga $x_1$ y recibe $f(x_1,x_2)$. Por lo tanto, la rentabilidad real (o utilidad) en función de jugador que es igual a $$u^{I}(x_1,x_2)=\frac12f(x_1,x_2)-x_1=2x_1x_2-x_1=x_1(2x_2-1)$$ This is a linear function in $x_1$ whith slope parameter $2x_2-1$. Obviously $$2x_2-1=0 \implies x_2=\frac12$$ y, por tanto, la mejor respuesta del jugador I puede ser determinada de la siguiente manera

1. Para $x_2<\frac12$. En ese caso $2x_2-1<0$ y, por tanto, $u^I(x_1,x_2)$ es maximizada por el menor valor posible de $x_1$,$x_1=0$. En símbolos $$b_1(x_2)=0$$ for $x_2<\frac12$.
2. Para $x_2=12$. En ese caso $2x_2-1=0$ y, por tanto,$u^I(x_1,x_2)=0$, por lo que $$b_1(x_2=\frac12)=x_1$$ for all $x_1\in[0,1]$.
3. Para $x_2>\frac12$. En ese caso $2x_2-1>0$ y, por tanto, $u^I(x_1,x_2)$ es maximizada por el mayor valor posible de $x_1$,$x_1=1$. En símbolos $$b_1(x_2)=1$$ for $x_2>\frac12$.

En suma $$b_1(x_2)=\begin{cases} 0, & \text{for } x_2<\frac12 \\ [0,1], & \text{for } x_2=\frac12 \\1, & \text{for } x_2>\frac12 \\ \end{cases}$$ and due to symmetry $$b_2(x_1)=\begin{cases} 0, & \text{for } x_1<\frac12 \\ [0,1], & \text{for } x_1=\frac12 \\1, & \text{for } x_1>\frac12 \\ \end{cases}$$ a partir de la cual se puede derivar la imagen dada.