El problema de decidir si existe una solución para $x$ $S$ es difícil de caracterizar en general, pero sí sé que un resultado útil en el caso especial donde $|S| = 2$.
Teorema. Si $S = \{m,n\}$ donde $m,n$ relativamente primos, entonces hay una solución para $x$ si y sólo si existe no una solución para $mn - m - n - x$.
Tenga en cuenta que esto fácilmente se generaliza a al $m,n$ no son relativamente primos, porque si $(m,n) = d > 1$, usted puede considerar $\frac{x}{d}$$S = \{\frac{m}{d},\frac{n}{d}\}$.
Prueba.
Tenga en cuenta que hay una solución para un entero $y$ si y sólo si se puede escribir $y$ como una suma de $m$s y $n$s, es decir, $y = am + bn$ donde $a,b \ge 0$.
En primer lugar, supongamos que hacia contradicción que existe una solución para ambos $x$ $mn - m - n - x$.
A continuación, la adición de las dos soluciones en conjunto da una solución para $mn - m - n$.
Por lo tanto, podemos escribir la $mn - m - n = am + bn$.
Pero esto implica $a \equiv -1 \pmod n$$b \equiv -1 \mod m$,
por lo $a \ge n-1$$b \ge m - 1$, por lo que
$$
mn - m - n = am + bn \ge (n-1)m + (m-1)n = 2mn - m - n,
$$
una contradicción.
Por lo tanto, es suficiente para mostrar que no hay una solución para al menos uno de $x$$mn - m - n - x$.
Por el hecho de que $m$ $n$ son relativamente primos, podemos encontrar $a, b \in \mathbb{Z}$ tal que
$$
am + bn = x
$$
Deje $a \equiv a' \pmod n$ $b \equiv b' \pmod m$ donde$0 \le a' < n$$0 \le b' < m$. Entonces
$$
soy un + b n \equiv x \pmod {mn}
$$
Deje $a'm + b'n = x + kmn$ donde $k \in \mathbb{Z}$.
Si $k \le 0$ lo hace porque, $x = a'm + b'n + (-k)mn$ es una suma de $m$s y $n$s.
Por el contrario, si $k > 0$, podemos escribir
\begin{align*}
mn - m - n - x
&= mn - m - n - a'm - b'n + kmn \\
&= (n - 1 - a')m + (m - 1 - b')n + (k-1)mn
\end{align*}
y desde $n -1 - a', m - a - b', k-1 \ge 0$, hay una solución para $mn - m - n - x$.
$$
* \quad * \quad *
$$
Un conocido corolario de este teorema es que siempre hay una solución para $x$ siempre $x > mn - m - n$, pero no al $x = mn - m - n$.
$$
* \quad * \quad *
$$
EDIT: El teorema anterior sólo se aplica al $m$ $n$ son no negativos.
Si exactamente uno de $m$ $n$ es negativo, entonces es claro que hay una solución para cualquier $x$ , ya que hay una solución para$1$$-1$.
I. e., escribir $am + bn = 1$$cm + dn = -1$$a,b,c,d \ge 0$, y luego tenemos
$(a|x|)m + (b|x|)n = |x|$ $(c|x|)m + (d|x|)n = -|x|$ . (Esto es suficiente ya que $x$ es igual a $|x|$ o -|x|).
Si tanto $m$ $n$ son negativas, entonces la situación es básicamente la misma que cuando son positivos. En este caso, hay una solución para $x$ si y sólo si existe una solución para $-x$$S = \{|m|,|n|\}$.
